基于Tube MPC的多軸重型車輛全輪轉向路徑跟蹤策略

王瑋琛，李軍求，孫逢春，宋 健，吳永華

（北京理工大學，電動車輛國家工程研究中心，北京 100081）

前言

準確有效的路徑規劃技術推動著智能駕駛車輛進一步提高其路徑跟蹤效果［1］。路徑跟蹤的主要目標是合理管理車輛運動，準確跟蹤參考路徑，保證車輛動態穩定性［2］。

路徑跟蹤作為一個多目標優化問題，并不是在所有情況下都能獲得理想的效果。對于較大的路徑曲率或者較低的路面附著系數，路徑跟蹤精度和車輛穩定性之間會存在沖突。后輪轉向（RWS）的方式可增加車輛控制自由度，被證實可以改變和提高路徑跟蹤過程中的瞬態性能［3-4］。Chen等［5］以零質心側偏角為目標，通過加入RWS提高極限路徑跟蹤的綜合性能。文獻［6］中通過加入后橋差動轉向的方式提高八軸重型車輛轉向過程的車輛穩定性。除此之外，RWS的加入使兩軸車實現了全輪轉向。它可以提高兩軸車對多余輪胎力的利用，增加安全裕度。文獻［7］中證明全輪轉向可以實現更大曲率的路徑跟蹤，可使前后橋輪胎的利用率在必要時最大化，克服了因前軸輪胎力更早達到飽和帶來的轉向不足問題。同樣的，對于多軸車而言，若想充分利用各橋輪胎側向力，有必要進行全輪轉向控制。這樣可以使得多軸車輛在大曲率過彎處，各橋可以同時提供更大的側向力來抵抗車輛所受的離心力［8］。但是，如果對每個橋進行單獨控制，其控制成本是昂貴的。

在路徑跟蹤算法方面，MPC是目前使用的最廣泛的方法，因為它可以預測系統未來狀態，實現多目標優化［9］。但是，針對求解過程存在不確定性干擾，如輪胎參數不確定以及側向風干擾等影響，普通MPC的優化效果會大打折扣。為了解決這一類問題，有越來越多的關于Tube MPC的車輛控制算法被提出。Tube MPC將無不確定性系統（標稱系統）約束在容許區域內［10］，可以實現魯棒正不變集的離線計算，策略在線計算量相對小。Mata等［11］提出了基于mRPI的Tube MPC解決了路徑跟蹤過程速度不確定性干擾的問題；Gao等［12］針對無人車避障問題，提出了基于魯棒可達集的非線性MPC解決方案。但是現有的關于Tube MPC的研究中，無論是魯棒正不變集還是可達集的求解，都是基于Minkowski求和進行迭代計算，所求得的集合的頂點數會隨著迭代次數的增加呈指數增長。這極大增加集合離線計算的負擔，復雜的集合也會降低MPC在線求解的效率。

針對以上所提及的全輪轉向策略及控制算法的問題，本文中以五軸重型車輛為研究對象，提出了一種基于Tube MPC的全輪轉向路徑跟蹤策略。首先為了改善多軸車輛在路徑跟蹤過程中的靈活性和提高各橋輪胎的利用率，提出了基于前橋（第1橋）和后橋（第5橋）轉角控制的全輪轉向路徑跟蹤策略。所提全輪轉向策略僅有兩個控制自由度，同時其控制可使前兩橋和后三橋在轉向過程分別實現側偏角響應同步。該策略可以視為兩軸車中AFS疊加DWS的延伸。其次，在面對路徑跟蹤過程中輪胎參數不確定以及側向風干擾的問題，通過采用Tube MPC的策略來提高路徑跟蹤控制的魯棒性。針對mRPI在迭代計算中計算量大及頂點數多的缺點，應用了一種基于支撐函數理論的高效mRPI求解方法取代原有的基于Minkowski求和的方法。最后，通過半實物仿真驗證了所提全輪轉向策略相對其他全輪轉向策略在路徑跟蹤效果上的優勢，同時驗證了Tube MPC策略在面對干擾的情況下對比常規MPC策略有更好的魯棒性。基于Tube MPC的全輪轉向路徑跟蹤策略的整體控制框架如圖1所示。

圖1 控制框圖

1 整車動力學建模

本節基于某五軸重型車輛，建立18自由度的非線性整車動力學模型，包括車身縱向、橫向、橫擺運動3個自由度、5個轉向自由度和10個車輪旋轉自由度。

1.1 車身縱向-側向-橫擺3自由度模型

圖2為五軸重型車輛的動力學分析圖。

圖2 五軸重型車輛動力學分析圖

車身縱向、側向及橫擺運動關系式可表示為式中：i∈{1，...，5}代表第i軸，j∈{1，2}代表左右側車輪；m、vx、vy和γ分別為整車質量、車輛縱向速度、車輛側向速度和車輛橫擺角速度；Fxwij、Fywij和Mzij分別為輪胎受到的縱向力、側向力和回正力矩；δij為對應輪胎轉角；FR為行駛阻力；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量；B為車輛的輪距；Li代表各軸到質心（CG）的水平投影距離，在質心前方為正，后方為負。

1.2 輪胎載荷計算

如圖3所示，本文的研究對象裝備有多軸互聯式油氣彈簧懸架，與其相連通的同側懸架的輸出力情況相同［13-14］。

圖3 多軸平衡式油氣彈簧系統示意圖

在獲取各軸輪胎靜態載荷時，可將車輛視為兩輪自行車模型進行計算，前兩軸的靜態垂向力相等，后三軸的靜態垂向力相等。加上考慮縱橫向加速度，各軸垂向力表示如下：

式中：H為質心高度；ax和ay分別為縱向和橫向加速度；a'和b'分別代表等效前后軸距，滿足：

1.3 車輪運動模型

以單個車輪為例，其旋轉運動的微分方程可表達為

式中：Jwij為車輪的轉動慣量；ωij為車輪角速度；Rw為輪胎滾動半徑；Twij為輪轂電機施加給車輪的驅動∕制動轉矩；Tfij為地面產生的滾動阻力矩。

各車輪中心的縱向和側向速度可表示為

車輪在對應輪胎坐標系下的速度為

最終可獲得車輪的滑移率和側偏角：

1.4 輪胎模型

基于Pacejka教授提出的“Pacejka2002”版本的魔術公式模型建立輪胎模型。聯合工況下的輪胎力可以表示為

式中：Fx、Fy和Mz為聯合工況下輪胎所受的縱向力、側向力和回正力矩；Fx0和Fy0分別為純縱滑的縱向力和純側偏的側向力；Gxα和Gyλ為聯合工況下對縱向力和側向力的加權函數；Cxα和Cyλ為形狀因子；Bxα和Byλ為剛度因子；Exα和Eyλ為曲率因子；SHxα、SHyλ和SVyλ為曲線水平漂移；t為輪胎拖距；Mzr為殘余力矩。

2 控制模型搭建

控制模型的搭建基于所提出的全輪轉向策略，在五軸車輛的線性2自由度模型基礎上考慮了路徑跟蹤過程輪胎參數不確定性和強側風產生的有界干擾。

2.1 全輪轉向策略制定

對于多軸車輛路徑跟蹤，不考慮急加∕減速情況，根據前面分析，單軌模型的前兩橋靜態垂向載荷相等，后三橋也相等。近似勻速的路徑跟蹤工況下各輪滑移率很小，純側偏輪胎模型能有效且準確逼近聯合工況輪胎模型的結果，因此前兩橋和后三橋的側向力特性相近。基于此，本文中提出前后轉角控制的全輪轉向路徑跟蹤策略，控制量只有兩個，為u=[δf，δr]。其 中δf以 第1橋 的 轉 向 角 為 基 準，δf=δ1，δr以第5橋的轉向角為基準，δr=δ5。各軸轉角和控制量存在如下關系：

該轉角關系可以保證前兩橋和后三橋輪胎側偏角分別實現同步。當第1橋和第5橋輪胎側向力獲得最大化利用的同時，中間橋輪胎的利用率可以實現同步。這避免了多軸車輛某些橋側向力達到飽和時，其他橋側向力利用率仍然很低的情況，有利于提高車輛在大曲率過彎時的路徑跟蹤性能［8］。

2.2 控制模型建立

圖4為線性2自由度模型示意圖。

圖4 線性2自由度模型示意圖

控制模型為考慮五軸車輛的線性2自由度動力學模型：

式中Fyi為各橋側向力。側向力和側偏角的關系為

其中，記前兩橋側偏剛度為Cf，后三橋側偏剛度為Cr。

以第1橋和第5橋轉向角為控制變量，各橋的輪胎側偏角可以表示為

車輛的橫向距離y和車輛航向角ψ的關系式如下：

整理式（12）～式（15），得到狀態空間方程：

將式（16）通過零階保持的方式進行離散化：

控制模型參數基于固定的縱向車速vx，同時考慮的輪胎側偏剛度Cf和Cr是在道路附著系數為μ0時對應的值。考慮有界干擾w(k)包括兩部分，即輪胎參數不確定性和環境中側向風的擾動。實際被控系統表示為

x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)+w(k) （18）

輪胎參數的干擾實際由兩部分引起。首先標稱系統中忽略了輪胎的非線性特性；其次是當路面附著變化μ≠μ0時，實際的輪胎側偏剛度和標稱系統對應的側偏剛度不匹配。同時強側向風的突然出現，會使得車輛所受到的側向力和橫擺轉矩發生突變，影響路徑跟蹤性能。對于多軸車而言，其較大的外形尺寸對應大的迎風面積會加劇側向風的影響。

3 基于Tube MPC的路徑跟蹤策略設計

Tube MPC控制算法是將標稱系統從實際系統中分離出來，通過計算mRPI將標稱系統狀態量和控制量約束在新的范圍內，從而有效維持控制系統的穩定性。

3.1 Tube MPC理論

式（18）實際系統，其狀態量x(k)∈R4，控制量u(k)∈R2，有界干擾量w(k)∈R4。同時，系統受到的約束為x(k)∈X，u(k)∈U，w(k)∈W。X、U和W為包含內點的多面體集合（緊凸集）。分離有界干擾對系統的影響，定義如下標稱系統：

式中：z(k)∈R4為標稱系統狀態；v(k)∈R2為標稱系統控制量。

則實際系統和標稱系統的狀態量誤差為

控制目標須在不違反約束的情況下，補償實際狀態和標稱系統狀態之間的誤差，使得標稱系統狀態盡可能接近參考。由此，定義實際系統的控制輸入為

式中K為狀態反饋增益，通過極點配置進行離線選擇，可以保證Acl=Ad+BdK嚴格穩定。

聯立式（18）～式（21），可以求得誤差系統的閉環狀態方程：

定義S為誤差系統的魯棒正不變集（RPI），也稱為Tube。對于任意的有界擾動，當誤差狀態位于RPI之內，其狀態演化一定還在RPI之內：

用集合的形式可以表示為

式中⊕表示集合之間的Minkowski和運算，對于給定兩個集合M，N?Rn，Minkowski和定義為

由此可獲得標稱系統的狀態量和控制量的約束為

式中?為集之間的Pontryagin差運算。對于給定兩個集合M，N?Rn，Pontryagin差定義為

3.2 mRPI的高效計算

更小的RPI會形成較小的約束收緊，同時也會使系統獲得更好的魯棒性和較低的保守性［15］。mRPI包含在所有RPI中。mRPI通過如下序列的極限集獲取：

mRPI滿足Smin=-S∞。雖然-S∞不是有限確定，文獻［16］中提出有限次迭代的方法外近似以獲取mRPI，其目標是尋找到數組(k*，ε)使其滿足：

則最小魯棒不變集為

因此，本研究通過采用一種高效的mRPI計算方法［17］來替代基于Minkowski求和的傳統求解方法。

首先定義集合X、U和D分別為

則最大魯棒不變集（MRPI）同樣可以通過序列的極限集給出：

mRPI、MRPI等相關集合滿足如下關系：

相關MRPI可以借助支撐函數的概念進行計算，同時集合的頂點數量只會隨著迭代次數呈線性增加。但是，Smax通常比Smin大的多。據此，文獻［17］中重新構造了一個集合滿足：

因此可以通過式（36）的迭代求解集合P∞。

P∞逼近mRPI，同時也保證了式（37）的成立。

對于P∞的求解可以通過k次迭代實現，其中k≤并 且滿足：

高效mRPI的具體計算流程如表1所示。

表1 高效mRPI計算流程

3.3 基于Tube MPC的求解問題構建

MPC作為一種最優控制方法，求解器從系統狀態反饋中推導出未來狀態，并根據給定的參考輸出，通過最小化性能指標確定最優控制序列。然后將控制序列中的第一個元素作為當前時刻的系統控制量。mRPI（Smin）的求解用于對MPC優化問題中約束的重新制定。實際系統和標稱系統在初始點的誤差應保證在Smin內，才能滿足MPC迭代的可行性。同時，Smin收緊迭代過程狀態量和控制量約束，保證策略的魯棒性。具體關于五軸車輛路徑跟蹤的Tube MPC的優化問題構建如下：

其 中z(k)∈X?Smin等 價 于因此z(k)和v(k)約束收縮均可通過支撐函數計算。

式中：N為預測步長；Q、R和P分別為狀態量、控制量和終端代價權重矩陣；zref=[vy，refγrefyrefψref]T為標稱系統的參考狀態，在Q中僅對側向速度、橫向距離和航向角的跟蹤誤差施加懲罰，以保證車輛穩定性和路徑跟蹤精度。

對應地，取側向速度參考量vy，ref(k)=0。對于橫向距離參考量yref(k)和航向角參考量ψref(k)的獲取，首先根據車輛當前時刻的位置，獲取在參考路徑上距離其最近的點[xref(0)，yref(0)，ψref(0)]。并以此為起點獲取預測視界對應的參考路徑預覽點序列[xref(k)，yref(k)，ψref(k)]，其中 相鄰 兩 點滿 足關系：xref(k+1)-xref(k)=vx·T。

經式（39）優化求解可以獲得標稱系統的控制量v*(0)和對應標稱系統初始狀態量z(0)，則實際系統最終的控制量為

式中x(0)為實際系統反饋的當前時刻的狀態。

定義實際狀態量x和實際控制量u的約束如下：

如2.2節所述，模型擾動考慮了線性輪胎模型的不確定性、附著不確定性和側風擾動。標稱模型中附著系數為μ0=0.8，考慮實際道路附著系數μ∈[0.4，1]，側向風速v∈[0，25]m∕s。獲取標稱系統和實際系統在采樣時間T=0.1 s的一步狀態預測偏差（擾動）范圍為

關于mRPI的計算，取ε=0.01，對應的k*=19，表明傳統的Minkowski求和運算需要經過19次迭代計算，而當進行到第5次迭代時，不變集的頂點數就多達2 116個。對于本文所采用的高效mRPI算法，最終結果僅有78個頂點。由于最終的簡化mRPI為四維多面體，通過命令“projection”將其進行三維方向投影，如圖5所示。

圖5 簡化mRPI三維投影圖

4 硬件在環仿真驗證

結合所提策略模型和整車動力學模型搭建了硬件在環仿真平臺，以驗證所提策略的有效性和實時性。仿真流程和平臺如圖6和圖7所示。將整車動力學模型下載到Speedgoat實時仿真機中，控制策略下載到整車控制器（VCU）中。VCU和實時仿真機通過CAN總線實現信息交互。基于Tube MPC策略的主要仿真參數如表2所示。

圖6 硬件在環仿真流程

圖7 硬件在環仿真平臺

表2 主要仿真參數

除了所描述的Tube MPC橫向路徑跟蹤策略之外，同時設計了基于PID的縱向控制器保證路徑跟蹤過程的勻速條件，車輛所需的縱向力矩T(k)可以表示為

式中：Kp、Ki和Kd分別為比例系數、微分系數和積分系數；跟蹤誤差為e(k)=vx_ref-vx，vx_ref為目標縱向車速。

仿真包括3個內容。仿真1首先對所提全輪轉向策略進行驗證，并將其與另外兩種全輪轉向策略進行對比，對于3種策略的求解均采用基于線性2自由度模型的普通MPC，不涉及Tube MPC求解策略。對比策略1為基于阿克曼原理的全輪轉向策略，只有一個控制自由度。轉向中心在車輛幾何中心的延長線上。對比策略2根據文獻［6］設置，基于第1橋和第5橋轉角進行控制，第1、2橋和第3、4、5橋分別共享轉向自由度，且它們的轉向中心均在車輛縱向幾何中心的延長線上，但不重合。兩個對比策略的轉角關系示意圖如圖8所示，兩個對比策略的轉角關系分別如式（44）和式（45）所示，li為各橋到縱向幾何中心的距離。

圖8 兩種對比策略的轉角關系示意圖

仿真2和3，基于相同的全輪轉向策略，對所提出的Tube MPC路徑跟蹤策略和普通MPC策略進行對比驗證。雖然仿真2和3中受到的擾動不同，但它們均屬于有界擾動，滿足式（42），3.3節求得的mRPI對它們都是適用的。

4.1 全輪轉向策略驗證

仿真工況1選取路面摩擦因數為μ=0.8，目標參考路徑設置如圖9所示，為蛇行工況，被控車輛的縱向目標車速為25 m∕s。

圖9 參考路徑

圖10為所提全輪轉向策略以及對比策略的轉角求解結果。可以看出，所提全輪轉向策略和對比策略2前后橋通過同向轉向實現路徑跟蹤，而對比策略1的阿克曼轉向前兩橋和后三橋轉向方向相反。圖11為各橋輪胎側偏角，圖12為路徑跟蹤效果對比圖，結合圖11和圖12可以看出，阿克曼轉向策略早早失去了對路徑的跟蹤控制。當然，這也說明了增加轉向控制自由度有助于提高車輛的控制效果。以下的結果分析中對于對比策略1的結果不再贅述。

圖10 轉角結果圖

通過圖11不同策略之間各橋輪胎側偏角的對比中可以看出，在路徑跟蹤過程中所提全輪轉向策略可以分別實現前兩橋和后三橋輪胎質心側偏角的同步；而對比策略2中第2橋和第3、4橋側偏角的響應分別滯后于第1橋和第5橋，同時也難以通過調節第1橋和第5橋的轉角使得其他中間橋的輪胎側向力充分發揮。如圖11（c）中，在t=6 s和t=8 s時，第5橋的側偏角達到0.4 rad，到達輪胎側向力飽和區，而此時第3橋的側偏角只有0.1 rad，側向力還有較大的利用空間。相反的，所提的全輪轉向策略則可以及時給整車提供足夠的側向力緩解過彎時的轉向不足，側向力的貢獻對于前兩橋和后三橋而言是平均的，它們無須使第5橋輪胎逼近或者超過飽和區。

圖11 各橋輪胎側偏角

因此，圖12（a）中所提全輪轉向策略對應的側向速度相較于對比策略2更小，最大值不超過0.5 m∕s，車輛擁有更高的穩定性。由圖12（b）可見，所提策略的橫擺角速度同時也更為平滑。圖12（c）和圖12（d）顯示了所提全輪轉向策略在橫向位移誤差和航向角誤差的控制方面優于對比策略2，橫向位移偏差的最大值只有對比策略2的40%，所提全輪轉向策略擁有更高的路徑跟蹤精度。

圖12 路徑跟蹤效果對比

4.2 輪胎參數不確定工況

仿真工況2參考路徑設置為如圖13（a）所示的雙變道工況，對應的實際路面附著系數如圖13（b）所示，車輛縱向目標車速為25 m∕s。標稱模型中的線性輪胎模型對應在路面附著系數μ0=0.8時獲得。如在第2節中所提到的，輪胎參數的不確定性可以包括線性輪胎模型帶來的不確定性和路面附著不確定性。參考路徑中對應的兩次變道試驗，是對這兩個不確定性的分別驗證。由于對應在第一個變道參考路徑轉彎處曲率較大，單純通過線性區域輪胎力不足以完成路徑跟蹤。而Tube MPC策略考慮了輪胎非線性部分造成的擾動，如圖14所示，其求解獲得的轉角結果也不像普通MPC策略的轉角變化那么劇烈，對應的轉角峰值更小。如圖15所示，普通MPC對應的輪胎側偏角甚至都到達飽和區域附近，而Tube MPC對應的側偏角則小得多。

圖13 仿真工況設置

圖14 轉角結果圖

圖15 各橋輪胎側偏角

圖16為路徑跟蹤效果對比。由圖可見，對于輪胎非線性區域的適配導致在t=3.5 s附近，MPC策略產生一個較大的側向速度，為2 m∕s。對應的橫向位移誤差峰值接近0.5 m，航向角誤差峰值接近-0.1 rad。而基于Tube MPC的路徑跟蹤策略可以將側向速度維持在一個較小的范圍，即0.5 m∕s之內；對應的橫擺角速度變化也較符合路徑曲率變化的趨勢，變化緩和。對應的第2個變道過程，道路實際附著系數為0.4，Tube MPC策略同樣展現出在抑制模型不確定性方面的優勢。整個路徑跟蹤過程，Tube MPC策略將橫向位移偏差均方根值由0.135 4減少到0.064 6 m，減小了52.3%。綜上，表明了Tube MPC對比普通MPC在面對輪胎參數不確定時，可以表現出更好的路徑跟蹤性能。

圖16 路徑跟蹤效果對比

4.3 輪胎參數不確定疊加側向風干擾工況

仿真工況3在附著系數為0.5的路面上進行，仿真工況設置如圖17所示。在1～4 s，有風速為25 m∕s的脈沖式側向風由車輛右側吹向車輛左側。經計算，在此期間側向風對車輛產生的附加側向力和橫擺力矩分別為Fyw=23026 N和Mzw=30748 N·m。圖18為路徑跟蹤過程的轉角求解結果，普通MPC策略對應的轉角波動大，峰值也大；而Tube MPC策略對應轉角則平緩得多。圖19為路徑跟蹤效果對比。由圖可見，類似于仿真2，Tube MPC策略在面對輪胎參數不確定性和側向風的外界干擾下，展現出優于普通MPC策略的動力學穩定性。特別地，由于橫擺力矩的影響，MPC策略在第2個轉彎t=3.5 s處，橫向位移出現一個向左側的超調，橫向位移偏差最大到達0.7 m。而Tube MPC控制器在路徑跟蹤過程橫向位移偏差最大值僅為0.32 m，減小了54.3%，橫向位移的均方根誤差值從0.292 7減少到0.121 7 m，減小了58.4%。這同樣說明Tube MPC策略有更強的抗干擾能力。

圖17 仿真工況設置

圖18 轉角結果圖

圖19 路徑跟蹤效果對比

5 結論

本文以五軸重型車輛為研究對象，提出了基于Tube MPC控制的全輪轉向路徑跟蹤策略，得到如下結論。

（1）設計基于第1橋和第5橋轉角控制的全輪轉向路徑跟蹤策略，使得多軸車在路徑跟蹤控制上更靈活且各橋側偏角可實現同步，同時各橋側向力有機會獲得充分利用。

（2）考慮輪胎參數不確定性和側向風干擾的控制模型，運用Tube MPC策略進行路徑跟蹤問題求解。

（3）采用基于支撐函數的高效mRPI算法代替Minkowski和運算的迭代方法，有效減少了不變集的頂點數，可以提高離線不變集計算和在線策略運算的效率。

（4）通過半實物仿真驗證表明，所提出的全輪轉向策略對比普通的全輪轉向策略有更好的路徑跟蹤性能，同時證明基于Tube MPC的全輪轉向策略面對未知干擾，有更強的魯棒性，可以獲得較高的跟蹤精度和車輛穩定性。