克服變化浮力做功求解的探討

王偉民 辛存良

（1.安徽省太和縣宮集鎮中心學校，安徽 阜陽 236652；2.山東省陽谷縣西湖中學，山東 聊城 252311）

漂浮于液面的物體，施加外力將其按入液體中時，物體浸入液體的過程中，浮力不斷增加，確定這一過程中外力對物體所做的功，就涉及到變力做功問題.

1 浮力是外力作用點移動距離的線性函數

例1.（2020年江蘇省昆山市普通高中自主招生物理卷第14題）如圖1所示，一個高為20 cm，橫截面積為100 cm2的長方體木塊漂浮在盛水的杯內，杯內水的深度恰好為20 cm.已知杯子的底面積為200 cm2，水的密度為1.0×103kg／m3，木塊的密度為0.5×103kg／m3，現在用外力將木塊按入杯底，則外力所做的功至少為________J.

圖1

解析：漂浮的木塊原來有部分體積露出水面，將木塊按入杯底的過程可分為2個階段：第1階段是木塊沒入水中的過程，在這一過程中，施加于木塊上豎直向下的外力是變力，外力隨木塊沒入水中體積的增大而增加，因此，這一階段外力做功屬于變力做功問題；第2階段是沒入水中之后木塊在外力作用下運動至杯底的過程，屬于恒力做功問題.因為木塊的橫截面積是容器橫截面積的一半，所以，木塊沒入水中的過程中，木塊下降的高度與容器中的水面升高的高度相同，沒入水中的過程木塊位置的變化及水面高度的變化情況分別如圖2（甲）（乙）所示.根據題目所給條件，第2階段外力做功的求解不存在難點，外力及木塊在外力作用下運動的距離都容易確定，這道題目的難點是第1階段變力做功的求解.由于容器和木塊都是柱體，所以，第1階段木塊沒入水中的過程中，豎直向下的外力是壓下距離的線性函數，因此，可以用平均力與木塊壓下距離的乘積作為變力做功的大小，而平均力等于最小壓力（剛開始下壓時的狀況，壓力為0）與最大壓力（即木塊剛好全部浸沒時需要施加的壓力，大小等于浸沒的木塊所受水的浮力與木塊重力之差）的平均值.另外，第1階段的變力做功，也可以根據系統機械能的變化進行確定，即木塊沒入水中的過程，外力（變力）做的功，等于水重力勢能的增量與木塊重力勢能減少量之差.

圖2

2 浮力不是外力作用點移動距離的線性函數

那么，木塊的形狀改變之后，還可以采取這樣的方法求解嗎？

例2.如圖3所示，一個半徑為12 cm的木球漂浮在盛水的圓柱形杯內，杯內水的深度足夠大.已知杯子的底面半徑為16 cm，水的密度為1.0×103kg／m3，木塊的密度為0.5×103kg／m3，現在用外力將木球按入水中，則從木球原來的漂浮狀態壓至木球剛好完全浸沒時，外力所做的功至少為________J（取g＝10 N／kg，結果保留π）.

圖3

解析：與例1給出的條件相比，木塊的形狀由原來的長方體變為現在的球體，題目只求木球由原來的漂浮狀況到壓入水中的過程中外力所做的功.跟例1不同，漂浮的球體受壓沒入水中的過程，雖然仍然是變力做功，但球體在受力下壓的過程中，壓力不是球體下移距離的線性函數，所以，球體沒入水中的過程中平均壓力（即壓力相對壓下距離的平均值）的大小不再等于最大壓力與最小壓力的平均值，因此，繼續采用平均壓力與壓下距離乘積的方法確定變力做功的大小比較困難.我們不妨改換一下思路進行求解.為便于后面的分析，有必要先確定質量分布均勻的半球的質心位置.

如圖4所示，設半球過球心O的截面為EF，半球的半徑為r，半球材料的密度為ρ，BC是平行于EF的任意截面，設球心O到平面BC的距離為OD＝x，則，自D往下取一片厚度為微元dx的均等薄片，設半球的質心到O點的距離為H，則有

圖4

由于木球的密度是水密度的一半，所以，漂浮的木球靜止時恰好有一半的體積露出水面.考慮到球體的對稱性，將漂浮木球上面的半球繞其水平直徑翻折180°（注：只翻折上面的半球，下面的半球保持不動），使其跟下面的半球重合，翻折情形如圖5（甲）（乙）所示.圖5（甲）是木球原來漂浮的情形，圖5（乙）是上面的半球翻折之后與下面半球重合的狀況.這樣，翻折之后所形成新的半球密度與水的密度相同，將新的半球下移適當的距離至圖5（丙）所示的狀況.由于新的半球與水的密度相同，所以，新半球下移過程中無需外力做功.在圖5（丙）狀況下，將新半球重新分開為兩個密度都是0.5×103kg／m3的半球，并將其中的一個繞其水平直徑翻折180°（這相當于新半球又恢復到先前完整球的狀況），如圖5（丁）所示.浸沒在水中的新半球球心位置保持不動，其形狀恢復原狀時，體積要增加到新半球體積的2倍，所以，跟圖5（丙）所示的狀況相比，水面會上升.由圖5（乙）變化到圖5（丙）所示狀況的過程中，只要半球下移的距離合適，一定可以使得新半球由圖5（丙）恢復到先前完整球時，球與水面相切［即圖5（丁）所示］的狀況.顯然，直接將圖5（甲）和圖5（丁）兩種狀況相比，相當于原來漂浮的木球下壓至剛好完全浸沒的情形.

圖5

由圖5（甲）翻折至圖5（乙）的過程中，容器中水的重力勢能不變，球的重力勢能減小，球重力勢能的減少量等于半球的重力與半球重心下降高度的乘積.

從圖5（丙）到圖5（丁）的過程，木球的重力勢能和容器中水的重力勢能都增加，其中木球重力勢能的增加量與圖5（甲）翻折至圖5（乙）的過程中木球重力勢能的減少量相同，所以，確定木球壓入水中的過程外力做功的結果，可以不考慮球重力勢能的變化量，僅考慮由圖5（丙）到圖5（丁）的過程中容器中水的重力勢能的增量即可.

過圖5（丙）和圖5（丁）的球心作一水平線EH.兩圖比較可以發現，在水平面EH下方，（丙）、（丁）兩容器內水的重力勢能相同，因此，為解決問題，我們只需確定該水平線上方圖（丁）與圖（丙）情形，內部水重力勢能的增量即可.

與圖5（丙）相比，圖5（丁）中水面的升高量Δh為

可得圖5（丙）半球上面柱形水柱的高度為

所以，將圖3所示漂浮的木球按入水中至剛好浸沒時，外力做的功等于圖5（丙）、（丁）相比容器中水重力勢能的增量，即

例3.如圖6所示，底面半徑為R的圓柱形容器內盛有密度為ρ水的水，水的深度足夠大，水面上漂浮一個半徑為r的木球，靜止時木球上的最高點到水面的距離為h，現在對木球施加豎直向下的壓力將木球緩慢壓入水中，當壓至木球剛好完全浸沒在水中時，求外力對木球所做的功.

圖6

解析：例2設置的物理情境是一種特殊情況——木球密度恰為水密度的一半，所以，我們采用了一種非常巧妙的方法對問題進行求解，即采用將漂浮于水面木球的上半球翻折后跟下半球重合的方法進行解析.能夠發現，與例2相比，例3給出的相關物理量不再是具體的數據，所以，對應的物理情境就由例2的特例推廣至一般情形了，漂浮于水面的木球靜止時浸入水中的部分只能說是球缺，未必是半球.那么，對于一般情形下的這個物理問題，我們還可以采用類似方法求解嗎？

為便于分析，我們有必要先確定質量分布均勻的球缺的質心位置與球缺半徑和球缺高度之間的定量關系.

圖7

當h＝2r時，球缺“演變”為球體，.這剛好是球體的質心到球面的距離.這兩個特例也間接說明筆者推出的球缺質心公式的正確性.

木球漂浮于水面的情形如圖8（甲）所示，將水面上方的球缺切割掉之后，讓其均勻地分布于下面球缺所占有的空間（注：這與求解例2給出的問題時，將半球翻折的效果是一樣的，當然，例2也可以采用這個思想來求解），成為如圖8（乙）所示情形，則該上表面與水面平齊新球缺的密度與水的密度相同.將這個密度與水密度相同的球缺在水中向下平移合適的距離，至如圖8（丙）所示情形，則這一平移的過程無需外力做功.將圖8（丙）所示的新球缺進行形變，形變為最低點位置不動，外形恢復為原來形狀的球體，如圖8（丁）所示，只要由圖8（乙）平移至圖8（丙）的過程中平移的距離合適，就可以使得由圖8（丙）的球缺形變恢復原球之后，容器中水的上表面與球相切.

圖8

在圖8（丙）和圖8（丁）中，過下面球缺的平面作水平線EH，則（丙）、（丁）兩容器該水平線下方水的質量相等，水質心的位置等高，所以，這兩部分水的重力勢能相等.設圖（丁）容器水平線GH上方除去球缺后那部分水的質心為M，GH上方的球缺所占有的空間換成水時水球缺的質心為N.因為由（丙）變化為（丁）的過程中球體的重力勢能的增加量，與由圖（甲）變化到（乙）的過程球重力勢能的減少量相等，所以，由圖（甲）分別經過圖（乙）和圖（丙）最終到圖（丁）的整個過程中，外力所做的功，等于圖（丁）（丙）兩圖所示情形相比容器中水重力勢能的增量.若僅將（甲）（丁）兩圖所示情形相比，就相當于在外力作用下球被壓入水中的過程，所以，球壓入水中的過程壓力所做的功等于（丙）（丁）兩圖所示的兩容器中水平線EH之上水的重力勢能之差.與圖（丙）容器所示情形相比，圖（丁）容器內水面上升的高度為

而GH上方水球缺質心到GH的距離為

圖（丙）EF上方柱形水柱的質心到EF的距離為

所以，將漂浮的球按到球剛好浸沒時外力對球做的功為

對于該表達式，當h＝r時，有

而當h＝r時球缺“演變”為半球，上面結果恰為例2最終推理出的將漂浮于水面的體積露出一半的木球按入到剛好浸沒時外力所做的功，這也間接說明對于例3我們推理結果的正確性.