基于磁荷觀點分析小磁針間的相互作用
——以一道競賽題為例

王 勇

（江蘇省常州高級中學，江蘇 常州 213000）

電與磁經常聯系在一起并相互轉化，所以凡是用到電的地方，幾乎都有磁過程參與其中.從電磁理論的發展史看，磁理論最初是建立在磁的庫侖定律的基礎之上，它與電的庫侖定律平行，把磁極看成磁荷集聚的地方，將小磁針看作磁偶極子，具有一定的磁偶極矩；后來建立了分子電流理論，將小磁針等價于小螺線管，線圈等價于磁偶極層，電流環有一定的磁矩.前者稱為磁荷觀點，后者稱為分子電流觀點.

在第38屆全國中學生物理競賽復賽中第4題涉及到磁體間的相互作用問題，解本題第（2）問與第（3）問關鍵是必須要求出兩個小磁針之間的相互作用勢能，而參照2016年版的《全國中學生物理競賽內容提要》，磁場部分的考試內容只提出了通電圓線圈在軸線上和環面上的磁場和磁矩要求，但相互作用勢能并不在競賽內容要求范圍之內.那么小磁針之間的相互作用勢能如何理解，相互作用勢能表達式怎么推導，小磁針為何等效為無限小圓線圈，如何快速地求出無限小線圈中的電流在軸線上和環面上的磁感應強度，在標準答案之外筆者嘗試從磁荷的觀點類比電荷間的相互作用分析解決該問題.

例題.一枚小的永磁針可視為一個半徑很小的電流環，其磁矩μ的大小為μ＝IS（I為固有不變的環電流強度，S＝πR2，R為電流環的半徑），方向與電流環所在的平面垂直，且與電流方向成右手螺旋關系，如圖1所示.兩枚小磁針A和B的磁矩大小保持不變均為μ，質量均為m.取豎直向下的方向為z軸正方向建立坐標系.將A固定在坐標系的原點O上，其磁矩方向沿x軸正方向；將B置A的正下方.已知真空的磁導率為μ0，重力加速度大小為g.

圖1

（1）假設B的磁矩方向與x軸成θ角，其質心坐標為（0，0，z）（z?R），求 A、B之間的相互作用能.

（2）假設z不變，求B可以處于穩定平衡時與x軸所成的角θ穩.

（3）假設z可以變化，但B的磁矩與x軸所成的角θ＝θ穩，求B的受力平衡位置，并說明此平衡位置是否為穩定平衡位置.

1 試題分析

本題研究兩小磁針的相互作用，題目中提示將小磁針等效為一個半徑很小且磁矩為μ的通電小圓環，通過畢奧-薩伐爾定律積分計算通電小圓環平面內遠處的磁感應強度，且用通電小圓環磁矩為μ等效表示出小磁針在遠處的磁感應強度，進而計算相距較遠的兩個小磁針之間的相互作用勢能，再通過小磁針之間的相互作用勢能分析小磁針的穩定平衡位置.

2 標準解答

計算小磁針A（通電小電流環平面內）在z軸上坐標為z（z?R）處（記為P點）的磁場，x軸垂直于紙面向外，如圖2所示A的電流環（位于yz平面）上Q處電流元為Idl＝IRdφ（cosφj＋sinφk），其中φ為電流元與y軸正方向的夾角，電流元Q到P的矢徑為d＝－Rsinφj＋（Rcosφ＋z）k，電流元Q到P的距離

圖2

根據畢奧-薩法爾定律有

磁感應強度的積分式為

可見A在（0，0，z）處的磁場磁感應強度B沿x軸負方向，取B的磁矩與磁場垂直時為勢能零點，則A、B之間的相互作用能為

考慮重力后，系統勢能為

它只與z有關，由于z不變，B受到磁場的外力矩大小為

當θ＝0，π時外力矩為0，小磁針處于平衡位置.

3 磁荷分析法

3.1 小磁針的磁極類比為磁荷

庫侖在得到點電荷之間的相互作用力服從平方反比關系后，直覺地感到磁極之間的相互作用力服從類似的關系，若點磁荷1、2的磁荷分別為＋qm1和－qm2，則點磁荷1、2間的作用力為，磁場強度為.

3.2 小磁針類比為磁偶極子

小磁針兩端帶等量的異種小磁荷，兩小磁荷之間的間距極小，小磁針可看成一個磁偶極子.設小磁針的N極帶正磁荷＋qm，小磁針的S極帶負磁荷和－qm，兩磁荷間的距離為l，磁偶極距為pm＝qml，方向由負磁荷指向正磁荷.

3.3 磁偶極子類比為電偶極子

相距較近的等量的異種電荷構成一電偶極子，若電偶極子的極距為pe，則電偶極子在延長線和中垂線上的電場強度分別為

電偶極子在電場強度為E的勻強電場中的力矩為

電偶極子在電場強度為E的勻強電場中的電勢能為

類比電偶極子的（1）、（2）式則磁偶極子在延長線和中垂線上的磁場強度分別為

類比電偶極子的（3）式則磁偶極子在磁場中的力矩為

類比電偶極子的（4）式則磁場強度為H的勻強磁場相互作用的電勢能為

3.4 小磁針類比為通電小圓環分析小磁針在磁場中的相互作用勢能

磁矩為μ的通電小圓環在磁感應強度為B的勻強磁場中力矩為

由于在真空中

比較磁偶極子在磁場中的力矩（3）式和（10）式與通電小圓環在磁場中的力矩（9）式則小磁針的磁偶極矩為

將（10）式和（11）式代入（8）式，則有小磁針在磁場中的相互作用勢能為

通電小圓環平面內遠處的磁場等效為磁偶極子中垂線遠處的磁場，磁偶極子中垂線遠處的磁場可類比為電偶極子在中垂線上遠處的電場，則小磁針中垂線上（或通電小圓環平面內）遠處的磁場強度表達式為（6）式.將磁偶極矩（11）式代入（6）式后可得磁場強度為

當兩小磁針中心距離為z（z?R）時，（0，0，z）處小磁針的磁感應強度為

比較上述兩種解法，磁荷觀點簡便很多，磁場相關概念與靜電場的規律一一對應，有關靜電場的概念、規律、定理、討論方式以及計算結果等幾乎都可以直接借用.將小磁針類比為電偶極子從磁荷的角度解決相關磁場問題是一種有效的方法，也便于深入理解磁場的相關概念規律.