對(duì)電磁感應(yīng)中電容器放電問題的定量研究
——以2022年高考全國(guó)甲卷第20題為例

辛 亞

（江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)，江蘇 張家港 215600）

電磁感應(yīng)中電容器放電問題是近年來各地模考、高考的熱點(diǎn)之一.2022年高考全國(guó)甲卷選擇題第20題考查了這一考點(diǎn).這題的選項(xiàng)要求學(xué)生能夠?qū)﹄娙萜鞣烹娺^程中各個(gè)物理量的變化給出定性分析即可，但是為了更好地分析這類問題，我們還需要適度的定量研究，甚至要畫出圖像.這樣才能更直觀地看出各個(gè)物理量的變化規(guī)律.

1 原題展示

例題.（2022年高考全國(guó)甲卷第20題）如圖1所示，兩根相互平行的光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌固定在水平絕緣桌面上，在導(dǎo)軌的左端接入電容為C的電容器和阻值為R的電阻.質(zhì)量為m、阻值也為R的導(dǎo)體棒MN靜止于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直，且接觸良好，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)處于方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.開始時(shí)，電容器所帶的電荷量為Q，合上開關(guān)S后

圖1

（A）通過導(dǎo)體棒MN電流的最大值為.

（B）導(dǎo)體棒MN向右先加速，后勻速運(yùn)動(dòng).

（C）導(dǎo)體棒MN速度最大時(shí)所受的安培力也最大.

（D）電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱大于導(dǎo)體棒MN上產(chǎn)生的焦耳熱.

2 定性分析

本題考查了電磁感應(yīng)中電容器放電問題，雖然這是一個(gè)常見模型，但又不完全相同，本題具有較高的綜合性和創(chuàng)新性，精巧的一點(diǎn)是考查了基于能量觀點(diǎn)解決問題.通過對(duì)該模型的定性分析即可得出正確答案，分析如下.

（B）當(dāng)u C＞Blv時(shí)，導(dǎo)體棒MN加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)u C＝Blv時(shí)，導(dǎo)體棒MN速度達(dá)到最大值；之后，導(dǎo)體棒MN能不能勻速運(yùn)動(dòng)？假設(shè)勻速，電容器與MN及R構(gòu)成回路，電阻R兩端有電勢(shì)差，電阻R上就會(huì)有電流，那么電阻R將會(huì)一直產(chǎn)生電熱，能量會(huì)一直消耗，只要MN還有速度，R上就會(huì)繼續(xù)產(chǎn)生電熱，直到MN停止為止.由能量守恒可知，最終MN速度為0，假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤.B選項(xiàng)考查了學(xué)生的推理能力和創(chuàng)新能力，顯然B選項(xiàng)的分析較困難.

（C）由以上分析可知，當(dāng)u＝Blv時(shí)，MN上電流瞬時(shí)為0，安培力為0，此時(shí)MN速度最大，故C錯(cuò)誤.C選項(xiàng)考查了學(xué)生物理觀念和科學(xué)思維，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性.

（D）在導(dǎo)體棒MN加速階段，由于MN反電動(dòng)勢(shì)存在，故MN上瞬時(shí)電流小于電阻R上的瞬時(shí)電流，因?yàn)樗矔r(shí)電流的變化，利用微元法，由Q＝∑i2RΔt可知，加速過程QR＞Q MN；在MN減速為0的過程中，電容器的放電電流和導(dǎo)體棒的電流都流經(jīng)電阻R形成各自的回路，因此可知此時(shí)也是電阻R的瞬時(shí)電流大.綜上分析可知全過程中電阻R上的熱量大于導(dǎo)體棒上的熱量，故選項(xiàng)（D）正確.故選（A）、（D）.選項(xiàng)（D）選項(xiàng)綜合性較強(qiáng)，導(dǎo)體棒MN的運(yùn)動(dòng)要分兩個(gè)階段來分析，較為復(fù)雜，它考查了學(xué)生推理論證的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鰡栴}能力.

對(duì)于導(dǎo)體棒MN速度達(dá)到最大值之后的運(yùn)動(dòng)情況，我們是采用了假設(shè)法結(jié)合能量守恒的觀點(diǎn)來論證導(dǎo)體棒MN做減速運(yùn)動(dòng)，從而否定了（B）選項(xiàng)，但是我們還是不能詳盡的說明導(dǎo)體棒MN的運(yùn)動(dòng)情況以及電阻R和MN上電流的變化規(guī)律，為了解決這一問題，我們不妨從定量的角度對(duì)其研究.

3 定量研究

合上開關(guān)S后，電容器放電，t時(shí)刻，電容器帶電量為q，導(dǎo)體棒MN在安培力的作用下速度方向向右，大小為v，流過電阻R和導(dǎo)體棒MN的電流分別為i1、i2，以t＝0時(shí)刻的各處電流流向?yàn)檎较颍芍娏麝P(guān)系

將（4）式分別代入（2）、（3）兩式后，對(duì)時(shí)間t分別求導(dǎo)可得

對(duì)導(dǎo)體棒MN，由牛頓第二定律可知

將（7）式代入（6）式后，可得

將（5）式變形為

將（9）式代入（8）式并化簡(jiǎn)，可得

（10）式為二階常系數(shù)齊次線性微分方程.為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)式中各物理量賦值，令Q＝1 C，C＝1 F，R＝1Ω，B＝1 T，l＝1 m，m＝1 kg，則（10）式簡(jiǎn)化為

其特征方程為（12）式滿足Δ＞0，說明特征方程有兩根，則i1的通解為

將（13）式代入（9）式求出i2的通解為

根據(jù)初始條件，t＝0時(shí)刻

4 畫圖模擬

利用計(jì)算機(jī)軟件Matlab對(duì)電流的變化數(shù)值模擬，使結(jié)果可視化.

從圖2可以看出，R上流過的電流逐漸減小，但是導(dǎo)體棒MN上流過的電流變化較復(fù)雜，在0—0.8 s（約）電流減小；0.8 s以后，電流反向，先增大后減小，最終減為0.安培力方向與電流方向同步變化，從而影響速度的變化.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是在0—0.8 s（約）時(shí)間內(nèi)，電容器電壓大于導(dǎo)體棒MN上的反電動(dòng)勢(shì)，電容器對(duì)電阻R和導(dǎo)體棒MN放電；0.8 s以后，導(dǎo)體棒MN也相當(dāng)于電源，和電容器一起在R上產(chǎn)生同向電流.對(duì)速度變化數(shù)值的模擬如圖3所示.

圖2

圖3

從圖3可以看出，導(dǎo)體棒MN的速度變化規(guī)律是先增大后減小，最終減為0.在這里我們給出了速度的變化規(guī)律，這與我們前面定性分析的結(jié)果完全一致.

5 結(jié)束語(yǔ)

這個(gè)考題考查學(xué)生對(duì)電路情況、受力情況和運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析和推理的能力，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念、能量觀念，學(xué)生通過定性分析可以完成.但對(duì)于教師既要有符合學(xué)生的定性分析，還要有讓自己信服的定量研究.這樣才能對(duì)問題有深入而透徹的認(rèn)識(shí).以上通過對(duì)各個(gè)物理量賦值，利用Matlab對(duì)其復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系數(shù)值計(jì)算并繪制圖線，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)這一問題的定量研究.