與函數(shù)零點相關(guān)的參數(shù)范圍求解問題的策略分析

葉啟海 范習昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學 212143)

函數(shù)零點問題因為涉及到基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)、導數(shù)的應用，又滲透著轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性等方面起到了非常明顯的作用，且對學生的綜合素質(zhì)提出了很高的要求，學生處理起來感到棘手，下文從四個方面加以分類例析.

1函數(shù)與方程思想，直接求根策略

A.[-1，2)∪[3，+∞) B.[1,2)∪[3,+∞)

C.[1，2)∪[2，+∞) D.[1，+∞)

解析令x2-2x-3=0,可得x=-1或x=3.

令ln(x-1)=0,可得x=2.

因為x-1>0，所以x>1.

所以λ>1.

作出圖象(如圖1)，結(jié)合圖象可得1≤λ<2或λ≥3時，f(x)恰有兩零點.故選B.

圖1

解析(1)不等式的解集為1,4.(過程略)

圖2

(2)作出函數(shù)y=x-4與y=x2-4x+3的圖象，如圖2所示，由圖可知，當λ≤1時，函數(shù)fx有1個零點；

當1<λ≤3時，函數(shù)f(x)有2個零點；

當3<λ≤4時，函數(shù)fx有3個零點；

當λ>4時，函數(shù)fx有2個零點.

所以當函數(shù)fx有2個零點時，λ的取值范圍為1,3∪4,+∞.

點評根據(jù)零點的定義，函數(shù)fx零點是方程fx=0的根，因此利用函數(shù)與方程思想直接求根策略是處理零點參數(shù)問題的首要策略.這兩個案例的參數(shù)都是分段函數(shù)分界出的自變量的取值，我們可以先直接求出每段的零點，然后將參數(shù)與這些零點的關(guān)系進行討論，不難得出結(jié)果.

2 轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合策略

A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)

解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖3所示.

圖3

等價于方程f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根，即y=f(x)和y=a的圖象有3個不同的交點，結(jié)合圖象,0

A.[-1,0] B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解析函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個零點，即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2 個不同的實根，函數(shù)fx的圖象與直線y=-x-a有2個交點，作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖4，由圖可知，-a≤1，解得a≥-1，故選C.

圖4

圖5 圖6 圖7

故選D.

點評函數(shù)零點是函數(shù)與x軸交點的橫坐標，具有很強的幾何特征，采取數(shù)形結(jié)合的策略是處理函數(shù)零點問題的最為常見而有效的策略.這一策略基于一種轉(zhuǎn)化與化歸的思想，即方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標?函數(shù)y=f(x)有零點，圍繞三者之間的關(guān)系，是可以探求參數(shù)的范圍.例3轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與一條水平直線的交點問題，例4轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與一組平行直線的交點問題，例5轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與斜率變化的直線交點問題，這里解題的關(guān)鍵是運用運動的觀點，立足參數(shù)的幾何含義和題目中有關(guān)零點的條件，加以分類討論從而解決參數(shù)范圍.

3 轉(zhuǎn)化與化歸思想，導數(shù)分析策略

A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

根據(jù)題意函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有3個零點，則函數(shù)y=f(x)-ax-b在(-∞,0)上有一個零點，在[0,+∞)上有2個零點，如圖8：

圖8

所以a>-1,b<0.故選C.

例7(2020年全國卷(文科)(新課標Ⅰ))已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

解析(1)當a=1時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)；

(2)若f(x)有兩個零點，即ex-a(x+2)=0有兩個解.

令h′(x)>0，解得x>-1，

令h′(x)<0，解得x<-2或-2

所以函數(shù)h(x)在(-∞,-2)和(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，且當x<-2時，h(x)<0，而x→-2+時，h(x)→+∞，當x→+∞時，h(x)→+∞.

點評根據(jù)零點個數(shù)判斷一個或多個參數(shù)的范圍問題，其難度較大，但解題基本思路和工具依然沒有變化，即利用零點存在定理，結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，加以轉(zhuǎn)化與化歸.例6和例7充分利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性和極值、最值等)來確定參數(shù)范圍，這表明函數(shù)零點問題與導數(shù)的交匯性很深，也凸顯導數(shù)功能的強大.

4 變量分類思想，函數(shù)值域策略

(1)求a的值；

(2)函數(shù)g(x)=f(x)-log2k，若函數(shù)g(x)有零點，求參數(shù)k的取值范圍.

解析(1)a=2(過程略).

(2)若函數(shù)g(x)有零點，則直線y=log2k與曲線y=f(x)有交點.

(1)當m=1時，解不等式f(x)+1>f(x+1);

(2)設x∈[3,4]，且函數(shù)y=f(x)+3存在零點，求實數(shù)m的取值范圍.

解析(1)不等式f(x)+1>f(x+1)的解集為(-∞,0)∪(1,+∞)(過程略).

即m=-(x+1)2+4在[3,4]上有解.

函數(shù)y=-(x+1)2+4在[3,4]上單調(diào)遞減，則y∈[-21,-12],從而，實數(shù)m的取值范圍是[-21,-12].

點評關(guān)于零點存在性問題，一般都可以變量分離后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，例8和例9都是這種做法，當然，面對零點具體個數(shù)的分析，函數(shù)值域策略有時會失靈.

與函數(shù)零點相關(guān)的參數(shù)范圍求解問題是高考的熱點，是高考命制壓軸題的主要源泉之一，我們需要引起足夠重視.處理零點相關(guān)的參數(shù)問題，我們有如下常用的策略：

(1) 直接求根策略：解方程f(x)=0.

(2) 數(shù)形結(jié)合策略：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

(3) 導數(shù)分析策略：面對零點具體個數(shù)的討論求參范圍時用導數(shù)分析.

(4) 函數(shù)值域策略：零點的存在問題一般可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題.

我們相信，只要熟練掌握這四種策略，求解與函數(shù)零點相關(guān)的參數(shù)范圍問題并不是一件很難的事.