由遞推式巧求通項的幾種常用策略

劉 瑛

(甘肅省隴南禮縣第一中學 742299)

由遞推式求數列的通項，是近年高考數學中的一個常考題型，故需要引起我們的高度重視.基于此，本文擬通過歸類解析的形式加以具體說明，旨在幫助同學們掌握常用的解題策略，進一步提高解題思維能力，進而提升數學運算與邏輯推理方面的數學核心素養(yǎng).

1 利用對應恒等式，巧求通項

A.2+lnnB.2+(n-1)lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

解析由已知，得

所以當n≥2時，

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=2+lnn.

又易知當n=1時上式也成立.

于是可得an=2+lnn(n∈N*).故選A.

故選A.

2 通過構造等差數列，巧求通項

當題設條件中給出數列滿足的遞推關系式時，可在靈活變形的基礎上，借助“局部整體化”的觀點加以思考，有利于幫助我們構造等差數列，并結合等差數列的通項公式解決問題.

所以當n≥2時，

所以2Sn-1-2Sn=SnSn-1.

又由b1=1易知Sn≠0(n∈N*).

從而對上式兩邊同時除以2SnSn-1,得

評注(1)本題變形的關鍵在于消去“bn”，同除以“2SnSn-1”；(2)構造等差(等比)數列之后，就要充分運用等差(等比)數列的通項公式加以分析.

3 通過構造等比數列，巧求通項

所以兩邊取倒數變形，得

然后兩邊同時加-1,得

4 通過構造常數列，巧求通項

根據題設給出的數列遞推式，如果實施適當的變形，可得到形如f(n)=f(n+1)的遞推式，那么可獲得數列{f(n)}就是一個常數列，然后再根據f(n)=f(1)即可順利解題.

例4 在數列{an}中，a1=1，且前n項和Sn滿足nSn+1-(n+3)Sn=0(n∈N*)，求數列{an}的通項公式.

解法1因為nSn+1-(n+3)Sn=0，

所以nSn+1=(n+3)Sn.

故n(n+1)(n+2)Sn+1=(n+1)(n+2)(n+3)Sn.

再變形可得

因此，當n≥2時，

an=Sn-Sn-1

解法2因為nSn+1=(n+3)Sn，

所以(n-1)Sn=(n+2)Sn-1(n≥2).

于是，兩式作差，得

當n≥2時，nan+1=(n+2)an.

又易知當n=1時，上式也成立.

所以nan+1=(n+2)an(n∈N*).

從而，可知

n(n+1)an+1=(n+1)(n+2)an.

評注上述解法1實施變形的關鍵在于對遞推式nSn+1=(n+3)Sn兩邊同乘以“(n+1)(n+2)”， 而解法2實施變形的關鍵在于對遞推式nan+1=(n+2)an兩邊同乘以“n+1”.此外，需要關注從“局部整體化”的角度去充分理解、認識如何構造常數列.

綜上，只要我們真正理解、掌握了以上幾種常用策略，那么根據數列遞推式求數列通項時，就能做到胸有成竹、游刃有余.值得特別提醒的是：對數列遞推式實施適當的變形，是靈活運用常用解題策略，進而順利破解目標問題的關鍵所在.