深層次剖析一組從電場到磁場軌跡拼接問題

李 鑫

(浙江省桐鄉第一中學 314500)

1 引言

首先我們遴選兩道高考真題，且看帶電粒子從電場飛行到磁場過程中的軌跡，蘊藏了怎樣的相似性.

(2018新課標卷二理綜第25題)一足夠長的條狀區域內存在勻強電場和勻強磁場，其在xoy平面內的截面如圖1所示：中間是磁場區域，其邊界與y軸垂直，寬度為l，磁感應強度的大小為B，方向垂直于xoy平面；磁場的上、下兩側為電場區域，寬度均為l′，電場強度的大小均為E，方向均沿x軸正方向；M、N為條狀區域邊界上的兩點，它們的連線與y軸平行.一帶正電的粒子以某一速度從M點沿y軸正方向射入電場，經過一段時間后恰好以從M點入射的速度從N點沿y軸正方向射出.不計重力.

(1)定性畫出該粒子在電磁場中運動的軌跡；

(2)求該粒子從M點射入時速度的大小；

圖1

(1)區域Ⅰ加電場、區域Ⅱ不加磁場時，求在屏上探測到質子束的外加電場的最大值Emax；

(3)當區域Ⅰ加電場E小于(1)中的Emax，質子束進入區域Ⅱ和離開區域Ⅱ的位置等高，求區域Ⅱ中的磁場B與區域Ⅰ中的電場E之間的關系式.

圖2

2 對比分析

全國卷試題的核心設問是第二問，第三問是給定問題下的具體求解，考查的是基本功.浙江題的前兩問是基礎設問，第三問才是精髓.我們直接比較兩道題關鍵設問的粒子運動軌跡，如圖3：

圖3

圖3(b)是全國卷的壓軸題粒子軌跡，作為對比，筆者把浙江題粒子軌跡逆時針旋轉90°，得到圖 3(a)，顯然這不影響問題本質，可以清晰看出，兩道題同出一源.

全國卷試題在浙江題基礎上做了細節的修改，如表1：

表1

上述四點不同全都是細節上的不同.兩題核心是一致的，就是考查粒子從電場進入磁場軌跡拼接處轉折點，解題的關鍵是把握住從電場到磁場的偏轉角.以浙江題為例：

設質子進入磁場時的速率為v′，如圖3(a)，

(1)

由幾何關系知

中密度纖維板比較熱市的產品主要集中在9、12、18 mm規格產品上。中密度纖維板也面臨著和膠合板幾乎同樣的發展困難，那就是原材料的價格瘋漲，致使中密度纖維板的出廠價格水漲船高，但是市場價格卻不敢調高。據說中密度纖維板銷售形勢雖然好轉，但面臨下游生產廠家拖欠資金的問題挺嚴重。所以總的來看，中密度纖維板市場雖然復蘇的跡象明顯，但市場資金回籠狀態還是不容樂觀。

(2)

(3)

全國卷這道題只需要對(3)式做一些簡單修改就可以了.

3 追本溯源

下文先分析這個問題的難點，再尋覓這一類問題的演化過程.學生在解題時，很難一開始就觸摸到參考答案所用方法.參考答案敏銳地把握住了軌跡銜接速度偏轉角這種方法，而且很明智地使用了偏轉角的正弦關系.而一般學生很容易使用正切去解決問題.用偏轉角正弦做聯系可以巧妙地消參，但在考場上是不容易短時間摸索出來的.

4 試題背景

此題精華集中在利用速度偏轉角的正弦進行消參，由于物理參量較多，學生們容易在解題過程中迷失.但是精巧的解題策略是無跡可尋的嗎？其實不然，這樣的問題并不是橫空出世的，關于這一類的問題早已有之，在各地市的模考卷中都有體現，比如下面這個問題，可以說是這類問題的題源.

如圖4，射入磁場和射出磁場的M、N兩點間的距離d隨著U和v0的變化情況為……

圖4

此題做定性分析，很容易認為偏轉電壓越大，粒子的速度越大，所以在磁場中飛行時偏轉半徑越大，從而認為M，N兩點的距離增大.

實際上，仍然抓住從磁場到電場偏轉的角度，可以有

從這個例子可以看出，此題處理方式正是上面兩道題解題的關鍵之處，所謂大道至簡，莫過如此.這樣的問題，想必學生在上高考考場前都練習過，但是再遇到高考題時，卻很難把這樣的解題歷程遷移過來，甚至經過啟發思考，學生都想不起來曾練習過類似問題.

接下來我們進入“刻意練習”時段，一起來訓練這一定式結構下演化出的精彩的物理問題：

如圖5(a)，在直角坐標系X≤0的區域存在磁感強度大小為2B0的勻強磁場，在X>0的區域存在如圖5(b)變化的勻強磁場，兩磁場方向均垂直紙面向內，在t=0時刻有一質量為m，帶電量為+q的帶電粒子以大小為v0的初速度沿+X方向從O點進入磁場(不計粒子重力).

圖5

評析這道題前兩問是常規問題，妙筆在于第三問，實際上就是上述問題中的一個基本結論，即帶電粒子在勻強磁場中僅受到洛倫茲力，其豎直方向上的位移僅和水平速度有關.那么這個結論還有更深層次的原因么？前文的闡述是一個關于角度處理的技巧，但是接下來我們要展現更深層的原因：

帶電粒子在勻強磁場中僅受洛倫茲力，即：fxΔt=Δmvx=qvyBΔt=qBy