探究2022年新高考Ⅰ卷第18題的多種解法及啟示

李增濤

(江蘇省揚州市仙城中學 225200)

1 試題再現

2 解法探析

2.1 第(1)問解析

即cosAcosB=sinB+sinAsinB.

即cos(A+B)=sinB.

得cos(π-C)=sinB.

即-cosC=sinB.

即cosC=-sinB.(說明C為鈍角，B為銳角)

即cosAcosB=sinB+sinAsinB.

由cos(A+B)=sinB.(學生自然能聯想到余弦函數在(0,π)上是單調函數和誘導公式)

cosA(1+cos2B)=sin2B(1+sinA).

即cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA.

即cosAcos2B-sin2BsinA=sin2B-cosA.

即cos(A+2B)=sin2B-cosA.

即cosB=2sinBcosB.

解法4 由題意可知

2.2 第(2)問解析

由(1)得-cosC=sinB.

即cosC=-sinB且C為鈍角，B為銳角.

而這個式子還容易聯想到平方關系，利用平方關系消元即

sin2A=sin2(B+C)

=(sinBcosC+cosBsinC)2

=(-cos2C+sin2C)2

=(2cos2C-1)2

=4cos4C-4cos2C+1，

令1-cos2C=t,則0

解法2 由(1)得cos(A+B)=sinB.

(以下同解法2)

從本題的解法可以發現命題者的一個意圖：大部分學生對于如下兩種轉化很熟悉：

(1)互補轉化：如cos(A+B)=-cosC;

sin(A+B)=sinC.

但是本題要分析化簡等式：-cosC=sinB，該式對中等靠刷題的學生而言就有困難了，不能隨機應變導致學生在短時間內不能清晰地化簡出來，找不到解題方向，所以我們在平時的教學中既要歸納總結常見結論，更要注重結論的得來過程，認清變化的本質，不能僅靠刷題來提升解決問題的能力.

實際上，對于我們教師而言，擺在我們眼前的問題就是怎樣優化高中數學教學過程，怎樣深度思考發現教學的本質，以此來促進學生的核心素養提升.