三角函數最值問題的“七十二變”

謝賢祖

(廣東省華南師大附中汕尾學校 516600)

1 源于教材，對接高考

例1(人教A版必修4第144頁第6題)

(1)求y=3sinx+4cosx的最值.

(2)求y=asinx+bcosx的最值.

例2(人教A版第一冊第227頁例9)

(2)求y=3sinx+4cosx的最值.

例3(2017年全國Ⅱ卷文科第13題)

y=2cosx+sinx的最大值為____.

2 系數平移，角度加倍

可以發現上述題目的不同之處在于sinx和cosx的系數不同，而且它們的系數都在三角函數的外面，因此可以考慮讓系數“動起來”，不要僅限于讓系數待在sinx和cosx的外面，可以在sinx和cosx的內部引入倍數.

例4(2017年全國Ⅱ卷文科第13題·改編)y=cos2x+sinx的最大值為____.

分析這種考法對于高三的老師和學生來說屢見不鮮，適合給基礎中等偏弱的學生訓練.

由二倍角公式得

y=cos2x+sinx

=1-2sin2x+sinx

例5(原創)y=cos3x-cosx的最大值為____.

分析三倍角公式cos3x=4cos3x-3cosx對于參加競賽的學生是要牢記于心的.對于只參加高考的學生，現場推導即可，無需背誦.具體過程如下：

利用cos3x=cos2x+x展開，得

cos3x=cos2xcosx-sin2xsinx

=2cos2x-1cosx-21-cos2xcosx

=4cos3x-3cosx.

因此，y=4cos3x-4cosx.

令t=cosx，則y=4t3-4t-1≤t≤1.

求導得y′=12t2-4.

反思此題結合三倍角公式和換元思想，轉化成三次函數，最后借助導數判斷單調性求極值，三倍角公式看似超綱，但推導過程不超綱，筆者自認為是一道綜合性強的好題.但對于普通學生來說偏難，所以實際教學中應當適當取舍，因材施教，給尖子生或是競賽班的學生訓練比較合適.根據所教學生水平，還可以考慮改編成y=sin3x+sinx讓學生類比模仿，遷移變通，由于解法類似，在此不詳細展開.

3 系數上浮，浮想聯翩

由于上一道題難度較大，筆者繼續思考，還可以考慮讓系數“上浮”成平方，又是另一番風景，題目難度也不會太大，具體改編如下：

例6 (2017年全國Ⅱ卷文科第13題·改編)y=cos2x+sinx的最大值為____.

分析對學生來說，這種考法在高一就已經見過了，適合普通學生在高三復習課訓練使用.

筆者繼續嘗試，想讓平方升級為“三次方”：求y=cos3x+sinx的最大值.但是目測難度很大，用幾何畫板畫圖如圖1，復雜無規律，筆者嘗試求導換元勉強可以算出最值，但是計算繁雜，不適合考查學生，所以就此作罷.只能繼續改進，思考如何讓題目的最值可求、易算、不超綱.于是想到如下改編方式：升級為“四次方”，為了保證結構對稱，有章可循，讓sinx和cosx次數一致，具體題目如下：

圖1

例7 (原創)y=cos4x+sin4x的最大值為____.

分析為了立足課內知識并且“創造”出四次方，想到1=cos2x+sin2x，于是得到

y=cos4x+sin4x

這樣一箭雙雕，把最大值、最小值一起解決.若把“四次方”改成“立方”，又是另一個難度.

例8 (原創)y=cos3x+sin3x的值域為____.

分析y=cosx+sinxcos2x+sin2x-cosxsinx

=cosx+sinx1-cosxsinx,

令cosx+sinx=t，則

又g(-1)=-1，g(1)=1，

故g(t)的值域為[-1,1].

4 式子下沉，曲徑通幽

略有遺憾的是cos2x+sin2x=1為定值，無法直接命制成求最值的題目.但是筆者結合自己做競賽題的經歷，想到如下改編方法，讓cos2x和sin2x“下沉”到分母位置.

分析使用“1”的代換巧妙變形，

還可以考慮將平方去掉，繼續推廣，則會涉及競賽結論，適合教給競賽生.

分析令cosx+sinx=t，則

分析這樣推廣則涉及到競賽結論，由權方和不等式得

評注權方和不等式詳細內容如下,

5 內外嵌套，雙管齊下

這一想法不是筆者原創，是受到高考題的啟發，又跟本文有所關聯，所以順便納入文中，以饗讀者.還可以考慮在三角函數的內外同時“嵌套”系數.先看高考真題.

例12(2018全國Ⅰ卷理科16題)fx=2sinx+sin2x的最小值為____.

對于這兩道題的解答，前人之述備矣，網絡上早已流傳各種解法，限于篇幅，不在此展示.受到上述題目的啟發，筆者又繼續嘗試改編出下列題目，并且研究是否可解，可以考慮讓sinx和cosx交換搭配.

例14(改編)y=2sinx+cos2x的最小值為____.

例15(改編)y=2cosx+cos2x的最小值為____.

分析易知使用二倍角公式后可以將原函數轉化成二次函數求最值，較為簡單，不適合當壓軸題，適合普通學生復習訓練使用，相信命題專家肯定是考慮過、研究過，所以選擇了例8作為2018年的填空壓軸題.

6 命題不易，且行且思

(2)解題研究和命題研究無禁區，但是解題教學有禁忌.筆者認為把題目進行改編和推陳出新對老師來說是好事，但是不應該超綱，創造出來的題目適不適合給學生訓練還需要反復斟酌，集體備課、集思廣益后再呈現在課堂上才合理.比如例8其實還可以演變成探索函數f(x)=sinnx+cosnx(n∈Z)的值域問題．經過學習競賽、查閱書刊、請教同行，筆者得知下列結論：

設f(x)的值域為集合I，則

很明顯這個問題已經不適合在常規課堂向學生展開討論了，但在競賽班筆者會引導學生一起探索.所以命題研究要靈活發散，但是解題教學要點到為止、因材施教.

(3)通過對例9-例12的研究，筆者揣摩到命題者的意圖，甚至可以猜想到命題者的改編歷程，與命題者對話.受此啟發，我們老師應該加強對高考真題的命題研究，探討題目的來龍去脈，思考題目的“七十二變”，不僅有利于提升自己的解題水平、命題水平，也能更好地指導自己的日常教學，有的放矢.甚至可以讓學生嘗試自己出題，獲得自信.比如筆者在高三復習課上就嘗試過讓學生自己改編，在展示例題：求y=cos2x+sinx的最大值之后，啟發學生思考還可以如何變式，學生眾說紛紜，給出了如下變式：

例16 求y=sin2x+sinx的最小值.

例17 求y=cos2x+cosx的最大值.

例18 求y=cosx+sin2x的最小值.

例19 求y=cosx+sin2x的值域.

當然學生的創造天馬行空，這個時候就需要我們老師見多識廣，運籌帷幄，收放自如，去偽存真，引導學生進行合理的變式和有效的訓練，平時老師進行命題研究形成的功力此時便派上用場了.

(4)命題研究不能閉門造車，還得廣泛閱讀書刊，多與同行交流，不斷學習他人的優秀思想.源于教材，立足基礎，對接高考，適度綜合，因材施教.筆者感悟最深的一點就是對一個題目不斷的探索和改編可能會涉及到競賽領域，這對于提升教師個人水平是極好的訓練機會，有時不小心把題目改難了，超過了自己的水平，會逼迫我們去“查、問、學、思”，過程有點艱辛，需要專研的時間和毅力，但是筆者相信功不唐捐，在此與志同道合者共勉.