簡諧激勵下阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

倪維宇，張橫，姚勝衛(wèi)

緩沖與隔振

簡諧激勵下阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

倪維宇a，張橫b，姚勝衛(wèi)a

（上海理工大學(xué) a.公共實驗中心 b.機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

為得到抗振性能良好的板殼結(jié)構(gòu)，保證設(shè)備的正常工作，文中提出一種板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度優(yōu)化設(shè)計方法。以動柔度為目標(biāo)，建立頻域激勵下和固定頻率點激勵下板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)中阻尼材料宏觀分布和微結(jié)構(gòu)協(xié)同設(shè)計的多尺度問題的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)和約束條件對設(shè)計變量的靈敏度，并基于移動漸近線法求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。所提多尺度設(shè)計方法可以有效獲得板殼結(jié)構(gòu)最優(yōu)阻尼材料宏觀布局和最優(yōu)阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，提高了結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能，同時結(jié)果也表明涂敷阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)相較于僅涂敷單一阻尼材料的振動響應(yīng)大幅減小。研究表明，不同激勵頻率下阻尼材料的宏觀分布形態(tài)不同，阻尼材料主要分布于結(jié)構(gòu)模態(tài)振型位移的最大處和支撐端，通過加強結(jié)構(gòu)的剛度，抑制了結(jié)構(gòu)變形，減小了振動響應(yīng)。微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，其基本形態(tài)都是低剛度、高阻尼材料呈條狀分布，條狀分布的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)在受彎方向上的剛度較大，可以有效抵制結(jié)構(gòu)的彎曲變形。

阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)；多尺度；拓?fù)鋬?yōu)化；阻尼層；簡諧激勵

隨著尖端科技的不斷發(fā)展，高精度的產(chǎn)品設(shè)備在包裝以及運輸過程中對包裝材料的隔振降噪的要求越發(fā)嚴(yán)格。在大面積的板殼包裝材料中，外部激勵產(chǎn)生的振動往往需要一定的消退時間，板殼振動問題在包裝工程中顯得尤為突出，因此，低質(zhì)量、高剛度特性板殼材料的振動特性研究近年來成為新的研究熱點。在包裝工程的振動控制領(lǐng)域，通常希望在一定的設(shè)計條件下有效降低振動的幅值，以提高設(shè)備結(jié)構(gòu)的工作精度和可靠性。在設(shè)備結(jié)構(gòu)上增加阻尼材料形成復(fù)合結(jié)構(gòu)，是控制結(jié)構(gòu)振動的有效辦法，通過阻尼材料的耗能實現(xiàn)減小振動幅值和快速衰減振動的目的，如運載裝備中承受動態(tài)載荷的板殼結(jié)構(gòu)，可通過對阻尼層的優(yōu)化設(shè)計減小板殼結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)，減小噪聲，提高舒適性，因此，針對結(jié)構(gòu)動態(tài)載荷的響應(yīng)最小化問題開展研究具有重要價值。

在阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)宏觀分布設(shè)計方面，Kang等[1]以簡諧激勵響應(yīng)最小為目標(biāo)對殼結(jié)構(gòu)的阻尼材料分布進(jìn)行了設(shè)計。Kim等[2]通過將結(jié)構(gòu)模態(tài)的阻尼比最大作為設(shè)計目標(biāo)，以殼結(jié)構(gòu)阻尼材料的分布為研究對象進(jìn)行了設(shè)計。Yamamoto等[3]基于改進(jìn)的模態(tài)應(yīng)變能法，將系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比最大為優(yōu)化目標(biāo)，研究了板殼結(jié)構(gòu)的阻尼層優(yōu)化問題。Takezawa等[4]以減小共振響應(yīng)幅值為目標(biāo)，研究了阻尼材料的最優(yōu)分布問題，實現(xiàn)最小的附加質(zhì)量條件下得到最優(yōu)阻尼材料分布形式。房占鵬等[5]優(yōu)化了頻帶激勵下阻尼材料的分布。蔣亞禮等[6]、賀紅林等[7]同樣研究了阻尼材料的分布問題。盡管阻尼材料的分布設(shè)計可以有效提高結(jié)構(gòu)阻尼，但是由于高阻尼材料（如橡膠）模量小、密度大的特點，不可避免地會減小原結(jié)構(gòu)的動剛度，由此可能引發(fā)新的振動問題，因此在不降低結(jié)構(gòu)剛度的前提下，對結(jié)構(gòu)阻尼的優(yōu)化設(shè)計就顯得尤為重要。從材料設(shè)計的角度出發(fā)，通過對復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計，使得設(shè)計的復(fù)合材料兼具高剛度高阻尼特性，有效提高結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼。

針對材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，Yi等[8-10]研究表明復(fù)合材料的剛度和阻尼與其微結(jié)構(gòu)構(gòu)型有關(guān)，以提高材料阻尼為目標(biāo)，采用逆均勻化方法，實現(xiàn)了復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計。Chen等[11]研究了材料剪切模量與阻尼之間的關(guān)系，以剪切模量最大為目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計。Huang等[12]對優(yōu)化目標(biāo)的選擇在阻尼復(fù)合材料中的影響進(jìn)行了研究，分析了剛度和阻尼作為設(shè)計目標(biāo)對微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響。上述的研究都是針對復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的，設(shè)計目標(biāo)多為復(fù)合材料的材料屬性，如阻尼、剛度等，而非兼顧到關(guān)于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計問題。再例如，以結(jié)構(gòu)的宏觀性能為目標(biāo)進(jìn)行研究時，Liu等[13]在對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計時，是在以結(jié)構(gòu)頻率為約束的前提下完成的。Chen等[14]同樣是以結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比為目標(biāo)，經(jīng)過優(yōu)化實現(xiàn)了復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)值都有所減小。Andreassen等[15]研究了一種關(guān)于阻尼結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計方法，通過最大化阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的阻尼性能，在獲得阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的優(yōu)化結(jié)果后，再采用優(yōu)化已經(jīng)得到的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型在宏觀上進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而得到其宏觀上的最優(yōu)分布，但該研究方法實際上仍是2個單尺度設(shè)計方法，并非多尺度設(shè)計方法。Zhang等[16]以結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比最大為目標(biāo)，對自由阻尼層結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計問題進(jìn)行了研究，并未對動力學(xué)響應(yīng)問題進(jìn)行研究。

目前，關(guān)于阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計研究多數(shù)停留在僅宏觀尺度或僅微觀尺度，而多尺度設(shè)計的研究較少，但其可以在保證不降低結(jié)構(gòu)性能的前提下最大限度的節(jié)省材料。基于以上分析，文中對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)在給定簡諧激勵下的響應(yīng)問題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，研究在動態(tài)載荷作用下阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的兩尺度設(shè)計問題，如何對阻尼材料的分布以及阻尼材料微結(jié)構(gòu)同時進(jìn)行設(shè)計，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計問題的靈敏度分析，以結(jié)構(gòu)柔度為目標(biāo)，分別對頻帶激勵下和固定頻率點激勵下的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。

1 阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的動柔度

=T(1)

式（1）為動柔度定義，為結(jié)構(gòu)的位移列陣，為載荷向量。由于阻尼材料的作用，結(jié)構(gòu)的位移列陣為復(fù)數(shù)，因此動柔度也是復(fù)數(shù)，其表達(dá)式為：

=R+iI(2)

式中：R、I分別為動柔度的實部和虛部。

根據(jù)式（2），動柔度又可表示為：

根據(jù)式（1）、式（2）可得，

=T=T(R+ iI?2)(4)

將結(jié)構(gòu)的位移列陣表示為復(fù)數(shù)形式，式（4）可改寫為式（5）所示形式。

經(jīng)整理得：

根據(jù)式（6），可得R，I分別為：

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及靈敏度分析

以結(jié)構(gòu)的動柔度最小為目標(biāo)對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度優(yōu)化設(shè)計，其數(shù)學(xué)模型為：

式中：為設(shè)計變量，其中x為微結(jié)構(gòu)設(shè)計變量、y為基板上宏觀分布的設(shè)計變量；為結(jié)構(gòu)的動柔度；0MI、0MA分別為宏微觀原始結(jié)構(gòu)體積；MI、MA分別為宏微觀優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積；MI、MA分別是宏微觀體積分?jǐn)?shù)。

杜建鑌等[17]對動柔度設(shè)計中激勵頻率對設(shè)計結(jié)果的影響問題進(jìn)行了詳細(xì)研究，指出在外部激勵略小于結(jié)構(gòu)的固有頻率時比在外部激勵略大于結(jié)構(gòu)固有頻率時可得到更理想的設(shè)計結(jié)果，但若實際激勵頻率大于結(jié)構(gòu)固有頻率時，可通過頻率漸變的方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動柔度最優(yōu)化設(shè)計。為了減小結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的響應(yīng)，文中將激勵頻率均設(shè)置為略小于結(jié)構(gòu)的固有頻率，以得到理想的設(shè)計結(jié)果。

通過對式（3）求導(dǎo)，可得到目標(biāo)函數(shù)動柔度對設(shè)計變量的靈敏度：

式（10）中R，I對設(shè)計變量的靈敏度分別為：

由于基板為非設(shè)計域，因此R對微觀和宏觀設(shè)計變量（x,y）的靈敏度可根據(jù)式（13）和式（14）計算得到。

I對微觀和宏觀設(shè)計變量(xy)的靈敏度可根據(jù)式（15）和（16）計算得到。

質(zhì)量矩陣分別對微觀設(shè)計變量x和宏觀設(shè)計變量y的靈敏度為：

將式（13）、（15）、（17）和式（14）、（16）、（18）分別代入式（11）和（12）即可得到動柔度目標(biāo)函數(shù)分別對微觀設(shè)計變量x和宏觀設(shè)計變量y的靈敏度。

3 設(shè)計流程

將基板為非設(shè)計域，阻尼層為設(shè)計域，建立自由阻尼層兩尺度的優(yōu)化模型。通過對微結(jié)構(gòu)中單胞進(jìn)行模型，將其所有的單元設(shè)定為設(shè)計變量，采用均勻化方法進(jìn)行分析，可得單胞模型的等效復(fù)彈性矩陣。然后對結(jié)構(gòu)宏觀性能進(jìn)行有限元分析，借助已得到的單胞等效復(fù)彈性矩陣對目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)進(jìn)行計算，從而得到復(fù)合結(jié)構(gòu)的整體性能。最后進(jìn)行2個尺度上的靈敏度分析，基于移動漸進(jìn)算法更新設(shè)計變量x和y，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程中相連2次的差值小于允許的容差，或觸發(fā)迭代次數(shù)上限時，則退出尋優(yōu)，否則返回微結(jié)構(gòu)有限元分析，繼續(xù)優(yōu)化，迭代至收斂條件。具體優(yōu)化流程見圖1。對阻尼復(fù)合材料兩尺度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型式（9）的求解，可通過移動漸進(jìn)算法尋優(yōu)得到。

圖1 阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計流程

4 算例

以圖2a所示懸臂板結(jié)構(gòu)為例，其長度=150 mm、寬度=100 mm，金屬基板和阻尼層的厚度均為2 mm。激勵點為圖2a中的圓點，其位于矩形板最右端中間位置。圖2b為簡諧激勵載荷，激勵幅值為100 N。對于頻域激勵，文中算例都是均勻選取11個頻率點。算例中金屬板的材料為鋁合金，阻尼層中的兩相材料為橡膠和樹脂，分別代表2種典型的材料性能——低剛度高阻尼材料和高剛度低阻尼材料，材料性能見表1。

4.1 頻域激勵下的兩尺度設(shè)計

對圖2所示的懸臂板結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計，宏微觀體積分?jǐn)?shù)分別為MA=0.5和MI=0.8。由于不同初始構(gòu)型對設(shè)計結(jié)果有一定影響，故在不同初始構(gòu)型下對結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度設(shè)計，初始構(gòu)型見圖3。結(jié)構(gòu)在不同初始微結(jié)構(gòu)下初始結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率分別約為75、250和450 Hz，因此在頻段激勵優(yōu)化設(shè)計中，首先將激勵頻段設(shè)置為60～70 Hz，建立4種結(jié)構(gòu)：model 1的初始微結(jié)構(gòu)1，=7.304、MA=0.38、MI=0.49；model 2的初始微結(jié)構(gòu)2，=6.932、MA=0.39、MI=0.58；model 3的初始微結(jié)構(gòu)3，=6.538、MA=0.41、MI=0.72；model 4的初始微結(jié)構(gòu)4，=6.648、MA=0.41、MI=0.66。4種設(shè)計結(jié)果見圖4。從圖4結(jié)果可知，model 1、model 2、model 3、model 4這4種結(jié)構(gòu)的材料宏觀分布基本相同，阻尼復(fù)合材料均分布與板的左側(cè)部分，微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，低剛度高阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)略有不同，其基本形態(tài)都是低剛度高阻尼材料分布，即呈條狀分布，由于加載點的位置在結(jié)構(gòu)上下對稱的中心線上，因此結(jié)構(gòu)主要受到彎矩作用，發(fā)生彎曲變形，條狀分布的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)受彎方向上的模量較大，可以有效抵制結(jié)構(gòu)的彎曲變形，因此最終的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)形態(tài)都類似。

圖2 懸臂板結(jié)構(gòu)激勵位置示意

表1 基板和阻尼材料的性能

Tab.1 Properties of substrates and damping materials

圖3 不同的初始微結(jié)構(gòu)構(gòu)型

圖4 懸臂板激勵頻率在60～70 Hz時設(shè)計結(jié)果

由于激勵頻段發(fā)生在基頻附近，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)主要是第1階模態(tài)起主要作用，因此結(jié)構(gòu)宏觀的材料分布于結(jié)構(gòu)支撐端，從而來加強結(jié)構(gòu)，以提高結(jié)構(gòu)基頻，減小振動響應(yīng)。從圖4的迭代歷程中可以看出，不同初始構(gòu)型下的設(shè)計結(jié)果都最終收斂。從目標(biāo)函數(shù)值可以看出，初始構(gòu)型4得到的設(shè)計結(jié)果的目標(biāo)值最小，此時微結(jié)構(gòu)中高阻尼相的體積分?jǐn)?shù)為0.66。初始構(gòu)型3得到的設(shè)計結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值比初始構(gòu)型4得到設(shè)計結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值略大，同時其高阻尼相材料的體積分?jǐn)?shù)是最大的。

4.2 固定頻率激勵下的兩尺度設(shè)計

對固定頻率激勵下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最小化問題進(jìn)行設(shè)計，激勵頻率設(shè)置為65 Hz，略小于初始結(jié)構(gòu)的基頻，設(shè)計的4種結(jié)構(gòu)：model 5的初始微結(jié)構(gòu)1，=0.638、MA=0.40、MI=0.49；model 6的初始微結(jié)構(gòu)2，=0.608、MA=0.41、MI=0.58；model 7的初始微結(jié)構(gòu)3，=0.565、MA=0.41、MI=0.68；model 8的初始微結(jié)構(gòu)4，=0.595、MA=0.41、MI=0.63。4種設(shè)計結(jié)果見圖5。從圖5中可以看出，4種不同構(gòu)型下阻尼材料的宏觀分布基本相同，均分布于板的左側(cè)部分，與60～70 Hz頻段激勵下的設(shè)計結(jié)果相同，均是因為激勵頻率發(fā)生在結(jié)構(gòu)基頻附近，結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)起主導(dǎo)作用，故對第1階模態(tài)進(jìn)行抑制以減小目標(biāo)函數(shù)值。4種不同初始構(gòu)型下設(shè)計結(jié)果的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，且在相同的初始構(gòu)型下與60～70 Hz頻段激勵下的設(shè)計結(jié)果相同，不同初始構(gòu)型下設(shè)計結(jié)果微結(jié)構(gòu)中低剛度高阻尼材料體積分?jǐn)?shù)略有不同。從目標(biāo)函數(shù)值可以看出，初始構(gòu)型3得到的設(shè)計結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值最小，此時微結(jié)構(gòu)中高阻尼相的體積分?jǐn)?shù)為0.68。

通過對不同的初始構(gòu)型下，以動柔度為目標(biāo)的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)兩尺度設(shè)計問題進(jìn)行研究，證明了該設(shè)計方法可用于不同初始構(gòu)型下的設(shè)計，同時設(shè)計結(jié)果也表明初始構(gòu)型3下得到的結(jié)果最優(yōu)。當(dāng)懸臂板激勵頻率為235 Hz，初始構(gòu)型為3時的設(shè)計結(jié)果，如圖6所示（激勵頻率235 Hz，初始微結(jié)構(gòu)3，=0.103、MA=0.49、MI=0.62），可知阻尼材料的宏觀分布與激勵頻率為65 Hz時不同，主要是因為65 Hz接近于結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率，故第1階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用，而235 Hz接近于結(jié)構(gòu)的第2階固有頻率，所以第2階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用。優(yōu)化后微結(jié)構(gòu)的形態(tài)基本相同，低剛度高阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)為0.62。懸臂板激勵頻率為420 Hz時，初始構(gòu)型為3時的設(shè)計結(jié)果如圖7所示（激勵頻率為420 Hz，初始微結(jié)構(gòu)3，=0.300、MA=0.40、MI=0.62），可知阻尼材料的宏觀分布與激勵頻率為65 Hz和235 Hz時的不同，主要是因為420 Hz接近于結(jié)構(gòu)的第3階固有頻率，第3階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用，微結(jié)構(gòu)的形態(tài)與上述算例基本相同。

圖5 懸臂板激勵頻率為65 Hz時設(shè)計結(jié)果

5 實驗驗證及分析

為了驗證設(shè)計結(jié)果的正確性，故對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行試驗測試，根據(jù)實驗測試結(jié)果判斷設(shè)計方法以及設(shè)計結(jié)果的優(yōu)劣性，實驗測試方案布置見圖8，對結(jié)構(gòu)左側(cè)夾緊以模擬懸臂板結(jié)構(gòu)。根據(jù)4.1節(jié)和4.2節(jié)算例結(jié)果可知，設(shè)計結(jié)果中微結(jié)構(gòu)構(gòu)型形態(tài)基本相同，都是低剛度高阻尼材料呈條狀分布，不同之處僅是體積分?jǐn)?shù)有略微區(qū)別，對比不同微結(jié)構(gòu)初始構(gòu)型設(shè)計結(jié)果可知，最優(yōu)的微結(jié)構(gòu)中低剛度高阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)約為0.7，故實驗中僅取體積分?jǐn)?shù)為0.7的結(jié)構(gòu)進(jìn)行制作，并分別制作了微結(jié)構(gòu)中僅有低剛度高阻尼材料和僅有高剛度低阻尼材料的試件，如圖9所示，3個樣件中鋁合金板厚度均為0.8 mm，都是整板左側(cè)涂敷50%，圖9a為左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂，圖9b為左側(cè)涂敷橡膠，圖9c左側(cè)是涂敷微結(jié)構(gòu)（橡膠的體積分?jǐn)?shù)為0.7）。

圖6 懸臂板激勵頻率為235 Hz時設(shè)計結(jié)果

圖7 懸臂板激勵頻率為420 Hz時設(shè)計結(jié)果

圖8 兩尺度阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)實驗方案布置

圖9 不同微結(jié)構(gòu)形態(tài)的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的實物

表2 兩尺度設(shè)計懸臂板仿真與實驗對比

Tab.2 Comparison between simulation and experiment of cantilever plate with two scale design

圖10 實驗測試頻率響應(yīng)

經(jīng)過實驗測試，得到結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)見圖10，表2為實驗測試結(jié)果，盡管兩尺度設(shè)計的懸臂板實驗測試結(jié)果與仿真存在一定的誤差，但由于實驗都是在相同實驗條件下進(jìn)行，因此實驗仍可反映設(shè)計結(jié)果的性能。

在結(jié)構(gòu)左側(cè)涂敷橡膠相較于全涂敷橡膠，實驗測試和仿真結(jié)果都表明結(jié)構(gòu)的剛度增加，但結(jié)構(gòu)的阻尼減小，以實驗結(jié)果為例，全部涂敷橡膠結(jié)構(gòu)的第1階頻率和阻尼分別為21.6 Hz和0.088，左側(cè)涂敷橡膠的第1階頻率和阻尼分別為28.0 Hz和0.080，結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)幅值變大；結(jié)構(gòu)左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂相較于全涂敷環(huán)氧樹脂，仿真結(jié)果中結(jié)構(gòu)的前兩階頻率增加。第3階頻率減小，實驗結(jié)果中結(jié)構(gòu)的頻率變化不大，實驗和仿真結(jié)果都表明結(jié)構(gòu)的阻尼減小，同樣結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)幅值變大，左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂的板結(jié)構(gòu)其各階模態(tài)頻率是最大的；而涂敷阻尼復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)，見圖9c。雖然其各階模態(tài)頻率略小于左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂結(jié)構(gòu)，但其頻率響應(yīng)在所有結(jié)構(gòu)中響應(yīng)是最小的，同時仿真和實驗結(jié)果都表明，涂敷阻尼復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼在所有結(jié)構(gòu)中是最大的。與基板結(jié)構(gòu)相比，涂敷阻尼復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)其前兩階模態(tài)頻率都大于基板，頻率響應(yīng)減小了約8倍，因此，合理的微結(jié)構(gòu)形式可以使用最少的材料達(dá)到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)性能，有效地減小結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。

6 結(jié)語

基于變密度法對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的兩尺度優(yōu)化問題進(jìn)行研究，通過兩尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法實現(xiàn)阻尼復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計及其在宏觀上的最優(yōu)分布設(shè)計。以結(jié)構(gòu)動柔度為目標(biāo)對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計研究，分別對頻域激勵下和固定頻率點激勵下板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度設(shè)計。不同激勵頻率下阻尼材料的宏觀分布形態(tài)不同，阻尼材料主要分布在結(jié)構(gòu)模態(tài)振型位移最大處和支撐附件處，通過增加結(jié)構(gòu)剛度來抑制結(jié)構(gòu)變形，減小振動響應(yīng)。由于加載位置位于結(jié)構(gòu)中線上，使得不同激勵頻率下微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，其基本形態(tài)都是低剛度高阻尼材料呈條狀分布。條狀分布的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)在受彎方向上的剛度較大，可以有效抵制結(jié)構(gòu)的彎曲變形。

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Multi-scale Topology Optimization Design for Damping Composite Structures under Harmonic Load

NI Wei-yua,ZHANG Hengb,YAO Sheng-weia

(a. Centre of Public Experiment, b. School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

The work aims to propose a multi-scale optimization design method of plate and shell damping composite structure to obtain a plate and shell structure with good anti vibration performance and ensure the normal operation of the equipment. Aiming at dynamic flexibility, a mathematical model of multi-scale problem was established under frequency domain excitation and fixed frequency point excitation. Macro distribution of damping materials and microstructure of plate and shell damping composite structure were collaboratively designed. The sensitivity of objective function and constraint conditions to design variables was derived, and the optimization mathematical model was solved based on the moving asymptote method. The proposed multi-scale design method can effectively obtain the optimal macro layout of damping materials and the optimal microstructure configuration of damping composites for plate and shell structures. It improved the structural dynamic performance. At the same time, the results also showed that the vibration response of the structure coated with damping composites was significantly reduced compared with that coated with only a single damping material. The research shows that the macro distribution of damping materials is different under different excitation frequencies. The damping materials are mainly distributed at the maximum displacement of the structural modal shape and the support end. By strengthening the structural stiffness, the structural deformation is restrained and the vibration response is reduced. The microstructure configuration is basically similar. Its basic morphology is that the distribution of low stiffness and high damping materials is strip-shaped. The strip-shaped damping composite microstructure has a large stiffness in the bending direction of the structure, which can effectively resist the bending deformation of the structure.

damping composite structures; multi-scale design; topology optimization; damping layer; harmonic load

TH113.1

A

1001-3563(2022)23-0225-09

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.23.027

2022–07–16

國家自然科學(xué)基金（52005337）

倪維宇（1986—），男，碩士，實驗師，主要研究方向為機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化與振動分析。

責(zé)任編輯：曾鈺嬋