順應學生思維 提升運算素養(yǎng)

江蘇省常州市第二中學 (213003) 王 強

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的數學分支科學，既是近現代數學的重要內容，又是高中數學課程的主干內容.平面解析幾何綜合題是每年高考的必考題型，也是高中數學教學的難點之一，其研究方法是通過建立幾何圖形的代數方程(或不等式)，實施代數運算，并由代數運算的結果得到幾何圖形的性質.文[1]指出圓錐曲線中“會而不對，對而不全，全而不優(yōu)”的現象普遍存在，究其原因是學生害怕其“運算”，具體表現為對運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算程序的設計和運算路徑的選擇上存在不足.如何提升學生的數學運算能力，我們在平時教學中不能只提供最簡便的“標準答案”，而應順應學生的思維，從學生的解法出發(fā)，尋求解決問題的突破口，增強學生的解題自信心，從而提升數學運算核心素養(yǎng).本文以一道高三模考題為例對此進行探究.

1.問題由來

此題以考查橢圓中的定值問題為載體，其背景熟悉、表達精煉，做為模考卷最后一道壓軸題，能較好地甄別學生的數學思維水平和檢測學生的數學運算素養(yǎng).此題提供的標準答案如下：

除了標準答案的求解思路之外，學生普遍還有一種解法如下：

因為式①中“-(2k+3)x1+(1-6k)x2”是個不對稱結構，學生遇到此類問題方法設阻，那么該如何解決這種結構？又可以怎樣避開這種結構？本文就解法2的后續(xù)過程與學生共同探究，將其整理成文字，與讀者共享.

2.問題探究

綜上，直線EF的方程為y=x+1.

師：我們首先為生2大膽質疑的精神鼓掌.生1利用消元，將x2轉化成x1，得到關于x1和的k的方程，通過生2的補充圓滿解決了這道題.消元是處理多元問題的基本思維方法，大家還有沒有其它想法呢？

師：生3不畏“運算”困難的品質值得我們學習，同時發(fā)現減元是處理問題的關鍵.還有其他不同的算法嗎？

3.問題追因

師：我們發(fā)現類似“-(2k+3)x1+(1-6k)x2”這種不對稱結構，直接用求根公式將x1和x2都轉化為k也是一個可行的途徑，是什么原因導致不對稱結構出現?觀察圖形，你們有沒有新的想法?

師：出現不對稱結構主要是用橢圓左右兩個頂點造成的.為了解決此類問題應結合橢圓的性質，用同一個點表示相關直線的斜率，自然恰好出現“x1+x2”和“x1x2”恰好配對的情況，直接用韋達定理代入即可，生4給了我們很好的示范.大家還有其它想法嗎？

4.結語

《普通高中課程標準(2017年版)》指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng).解析幾何是運用代數運算解決幾何問題，涉及到“形”與“數”的合理轉化，“數”與“式”的靈活整合，能較好的甄別學生解決問題的能力.在平時的教學中，我們不僅應關注標準答案的解法，更應多關注學生的思維解答.順應學生的思維，就是從學生的視角發(fā)現和提出問題，用學生的思維分析和解決問題，創(chuàng)設學生交流的空間表達和交流問題，從而提升學生的數學運算素養(yǎng).