解一題,通一法
——以一道圓錐曲線模考題求解為例

浙江省湖州中學(313000) 祝峰澤浙江省湖州市濱湖高級中學 (313000) 鄭夢華

圓錐曲線是高中數學的重要內容,蝴蝶型斜率問題是圓錐曲線的一個重要考點,這一類題型對學生數學運算、邏輯推理等素養要求較高,并且對圓錐曲線的研究方法、研究工具及學會自主探究發現圓錐曲線的一般定義及通性通法顯得尤為重要.本文以2023屆廣州期末卷第21題為例,探究其多解、優解及通解的規律,從而發現圓錐曲線的一般性質.

1 試題呈現

2 解法探究

圖1

評注:解法一較常規,設直線方程后,聯立橢圓方程,將斜率的比值轉化為代數后利用韋達定理進行計算即可;解法二從點出發,得到直線方程后,求得另一點的坐標,該解法計算較大;解法三運用直線上三點共線斜率相等,將斜率問題轉化為純代數問題,最后解方程組即可,對思維能力要求較高;解法四運用參數方程方法,計算量減少,較為抽象.

圖2

評注:第二問主要考查三角形面積求法、斜率的幾何意義、基本不等式等,難度較大.除上述方法外,也可以考慮求點到直線的距離,從而求出三角形面積;還可以運用參數方程求解.

3 試題推廣

上述推廣1及推廣2的證明同本文試題第一問解法一,此略.雙曲線也有這兩類似的性質.

綜合上述推廣,又可將其性質從逆思考方向予以探究,相應得到其逆命題.

張景中院士認為:小巧一題一法,固不應提倡,大巧法無定法,也確實太難,出路在于中巧.中巧即數學解題中有章可循的通性通法,教師在教學中可以幫助學生歸納總結得到一類問題的通性通法,在此基礎上,學生能夠學會舉一反三并形成系統性的解題策略,由此發展學生的數學解題能力.