一道二元函數最值問題的多視角探究

安徽省肥東城關中學 (231600) 王東海

最值問題是高中數學的核心內容，往往需要熟練掌握多種解題思想方法，是高考考查的重點、熱點內容.最值問題在選擇題、填空題與解答題中均可靈活命制，有時可單獨命題，有時在解析幾何題中命制求幾何量、代數式的最值問題，有時在三角函數題中命制求面積、周長等的最值問題.如何提高學生求解最值問題的能力一直困擾著一線教師.本文以一道最值問題為例，進行多角度探究.

1 試題再現

這道題簡潔、對稱、優美，設有陷阱并有一定的難度，主要考類化歸思想、換元思想及數形結合思想，也考查了基本不等式的應用.

2 解法探究

點評：解法中使用兩邊平方法去掉根號后，關鍵是觀察到已知式與目標式的聯系，用xy這個整體作為自變量，通過換元達到化二元為一元的目的，進而求出目標函數的值域.

點評：通過對條件式的變形，化成平方和的形式，聯想到三角換元方法，從而達到化二元為一元的目的.

點評：觀察到條件式可配湊為余弦定理形式，從而嘗試構造三角形將問題求解.

圖1

點評：本解法根據題意構造了一個圓內接四邊形，從而將所求表示成四邊形面積的表達式，再將其轉化為一個角的正弦值的函數達到求解目的.

4 解后反思

一般地，此類題的解決途徑就是想辦法將二元函數轉化為一元函數，首先看能否用一個變量直接表示另一個變量.然后再看函數能否轉化成某個整體的表達式.如果可以，則可采用整體換元的思想.本文中的解法就是將xy、x+y換元成t，或者采用三角換元將雙變量轉化成單變量θ、∠AFC的函數，實現二元函數的減元目的.實際上，這種題型在近年的考試中多次出現，例如：

題1 (2020江蘇高考)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值為.

5 追本溯源

本題是一道對思維有較高要求的好題，也是一道源于教材、高于教材命制的試題.其來源于人教2019版數學選修1第58頁綜合運用第5題，若a>0,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范圍.因此教師在教學中，應重視對課本例習題的深度挖掘，挖掘其中蘊含的數學背景，剖析背后的數學本質，感悟試題設計所蘊含的數學思想等.