數學課應多些育人的思考
——以“集合的概念”教學為例

江蘇省華羅庚中學 (213200) 王國俊

最近，筆者觀摩了一堂公開課，教學內容是高中數學人教A版新教材必修第一冊的“集合的概念”.縱觀整堂課，仍是沿襲傳統知識點教學的方式，即“教師講解知識點，學生訓練強化”.雖然不能說這樣的教學效果不好，但卻與數學育人的目標卻相差較遠.“集合的概念”作為高中數學的起始課，其重要性與教學地位不言而喻，那么本節課應該如何教學？

1 在三大場景中感悟集合

眾所周知，集合是刻畫數學對象的重要工具與語言，它是高中數學的基礎，更是現代數學的理論基礎.但是作為剛進入高中的學生來說，他們不可能一開始就能體會到這些.學生對于集合的最大困惑是“為什么要學集合”，因為在他們看來集合既不是初中數學的延續，也不是初中數學的深化，似乎跟他們所學的數學關系不大.因此，集合對學生來說不僅是陌生的，甚至是內心上要抵觸的東西.雖然初中也出現過所謂“解集”、“數集”的概念，但并沒有把它們上升的理論層面，而是停留在感性的描述階段，學生只要會“說”就行了.但現在要把“集合”單獨提出來，作為單獨的知識體系來研究，這對于學生來說是非常不理解的.因此，本節課首先要解決的就是讓學生感受到學習集合的必要性，具體可以通過設計三大場景讓學生感悟.

文化場景：向學生講述“白馬非馬”的歷史典故.讓學生思考：公孫龍的說辭有道理嗎？“白馬”與“馬”它們之間是什么關系？

生活場景：某跨國公司向全球召回有缺陷的產品，但是不包括中國地區.讓學生思考：跨國公司的做法有道理嗎？“全球”與“中國地區”什么關系？

數學場景：(1)求方程x2=2在有理數范圍的根.如果改成在實數范圍，那么方程的根是多少？(2)在平面上到定點距離等于定長的點的軌跡是什么？如果把“平面”改成“空間”，那么點的軌跡又是什么？

上述三大場景都涉及到研究的對象以及對象所在范圍的問題.在“白馬非馬”與“產品召回”例子中，涉及到了子集的概念；而在“數學場景”中不僅涉及到了“數集”“點集”的概念，而且還明確告訴學生“對象所在的范圍不同，所得到的結果也不同”.通過上述三大場景，讓學生認識到要研究數學對象，首先必須要明確要研究的對象以及所在的范圍，而“集合”正是刻畫對象以及對象所在范圍的工具.

2 在真實情境中理解集合

集合是一個只給出描述而沒有給出嚴格定義的數學概念.教材中所描述的“一般地，我們把研究的對象統稱為元素，把一些元素的組成的總體叫做集合”的定義，嚴格意義上并不能被稱作為集合的定義.對于集合定義的理解依賴于集合的三要素，三要素濃縮了集合的所有屬性.因此，只要把三要素搞清楚了，集合的概念也就理解了.有些老師的教法是直接給出“三要素”，然后讓學生記憶，而沒有讓學生經歷一種發現、建構的過程，這樣的教法其實是不可取的.較易理解的教法應該是讓學生在真實的情境中建構并理解集合的三要素.

對于“確定性”，可以讓學生舉出“你認為可以構成集合的對象”，學生可能會舉出“著名的數學家”、“有趣的故事”等類似的例子，在此基礎上，讓學生思考“怎樣的數學家算是著名”、“怎么樣的故事算是有趣”，從而發現構成集合的對象一定要“確定”，不能“模糊”或者出現“歧義”.

對于“唯一性”與“互異性”這兩個特性，可以讓學生在真實的情境中提取.例如，小明剛進入高一(1)班就讀，請問高一(1)班的學生能構成集合嗎？顯然是可以構成集合的.那么，在高一(1)班中會出現兩個一模一樣的“小明”嗎？這顯然是不可能的，從而引出“唯一性”的特征.再繼續思考，如果高一(1)的學生間調換了座位，那么高一(1)這個集合有么有發生變化？因為構成集合的元素沒有發生改變，所以集合依舊不變，由此引出集合的“互異性”.

集合與生活息息相關，通過貼近生活的例子來研究幾何的性質，更容易被學生接受與理解，更能夠幫助學生形成有聯系的觀點和看問題的意識.

3 在實踐操作中表示集合

集合的表示是本節課的教學難點，尤其是描述法.首先應讓學生明確引進描述法的必要性，因為列舉法無法表示所有的集合，只能引入新的表示方法.其次還需要明確描述法的本質，它是“對具有共同特征元素的描述”，因此，要把共同屬性這個本質特征給凸顯出來.但是很多教師在教學中卻忽視了這一點，而是直接教學生“如何書寫”，從而導致學生只知其然，而不知所以然.正確的做法應該怎么樣呢？

例如，對于不等式x-7>3解集的表示，可以先讓學生思考兩個問題，即“滿足不等式x-7>3的所有元素在不在這個集合中？”反過來，“集合中的元素滿不滿足不等式x-7>3”，通過純粹性與完備性的檢驗，從而讓學生體會到用描述法表示集合必需要凸顯“元素共同特征”，在此基礎上再給出描述法的格式{代表元|共同特征}.

接下去還要通過具體的實例，讓學生逐步掌握表示的方法.可以讓學生嘗試表示“奇數集”，教師則用問題串來啟迪學生的思維.“如何表示奇數”，“是否所有的奇數都滿足x=2k+1這種形式，反過來滿足x=2k+1這種結構形式是不是都是奇數”，“參數k應該滿足什么條件”，于是奇數集{x|x=2k+1,k∈Z}的表示自然生成.

為了讓學生更好的掌握描述法，教師還可以故意“犯錯”來強化正確的書寫格式，例如，{1

4 在文化融入中升華集合

集合的產生具有豐富的歷史背景，如果在教學中不能讓學生體會到這一點，不能說整節課是失敗的，但至少是留下遺憾的.因此，在本節課的小結環節，教師應該向學生呈現集合論產生的歷史原因以及數學家康托爾在創立集合論過程中的種種艱辛.進一步引入“理發師悖論”、“希爾伯特旅館”等經典問題來進一步豐富本節課的教學.讓學生在感悟數學文化的同時，對集合有進一步的認識；在感悟數學家智慧的同時，也體會到數學家所表現出來的那種鍥而不舍、勇于探索的精神，從而使數學的德育功能得到進一步凸顯.最后，在回到“白馬非馬”這個典故中，讓學生用集合來表示這個“白馬”和“馬”，說明這個兩個集合到底是什么關系，從而為下一節課“集合間的基本關系”做好鋪墊.

當然，理解數學內容的本質是落實數學育人功能的前提.因為只有在理解數學內容本質的基礎上，才能創設出符合育人價值的教學情境、提出有數學含金量的問題,才能啟發和引導學生的思考和探索活動.