數學深度學習發生在知識交匯處
——以“導數與三角函數綜合問題”的解題教學為例

江蘇省連云港市城頭高級中學 (222131) 孟慶豐

所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.深度學習不能憑空發生，一般需要三個的條件作為支持.第一，深度學習要求學生在學習過程中全身心的真實地投入和主動參與；第二，深度學習要求學習內容呈現結構化的特征，盡可能規避零散的、繁雜的、無序的知識點；第三，深度學習的內容要具有一定的挑戰性，能夠反映學科本質特征，指向核心素養的培育.簡而言之，就是激發學生興趣、選好教學主題、設計好教學問題.

作為高中數學的核心知識，導數不僅使研究函數單調性和最值的方法變得更加豐富，而且還可以于其它知識交匯融合，產生更加廣泛的應用.比如，可以借助導數來研究三角函數問題.對于三角函數的單調性、奇偶性、對稱性、最值問題或者相關綜合性問題，導數的應用不僅能充分地考查數學思想方法，彰顯解題方法的靈活性，多樣性與獨創性，而且還能夠使之成為促使深度學習發生的有效載體.

1 呈現不一樣的方法，激發學習的動機

深度學習首先強調的是學生“樂學”“愿學”，即學生的學習的興趣.因此，激發學生的學習動機并予以維持是深度學習的第一步.當然“興趣”不同于“樂趣”，“興趣”是學生發自內在的意愿，而并非教師的強制學習或強行灌輸.在數學解題教學中，相同的解題方法，重復的演練會將學生的興趣抹殺殆盡.對于三角函數單元內容，整體換元、數形結合、恒等變換是慣用的解題方法，學生對于這些方法與套路已經是很熟悉了，教師若再講這些方法已經很難激發學生的興趣，導數的運用為此內容的學習引入了新鮮的血液，可以讓學生感受到不一樣的三角函數.

問題1 若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是遞減函數，則a的最大值是.

點評：對于三角函數問題，利用三角恒等變換把多個三角函數轉化為一個三角函數，再結合三角函數的圖像與性質進行解答.其中，化簡是關鍵，在此過程中學生很容易出錯.導數的運用，可以規避對三角函數的化簡而直接進行求導，然后利用導數求單調區間、求極值的一般方法進行解決.對比兩種方法，導數不一定更加簡單，但具有一般性.長期以來，學生習慣于在三角的視角考慮三角函數問題，而很少嘗試用導數的視角進行思考.

2 開啟新的探索，建立結構化的聯系

深度學習的本質就是在整體性的背景之下，在各種知識和現象之間建立聯通關系，從而幫助學生結構化的知識體系.因此，教師要盡量避免孤立化、松散化的教學呈現方式，而是要以結構化的、適合學生展開主體活動的方式來呈現有內在關聯的內容.這樣做的優點既能體現學科邏輯，又適合學生的認知邏輯，可以讓學生所學到的知識比以往更加全面與深入.不僅如此，在解題教學中，非結構的、不斷細分的、孤立的解題方法是使學生的思維由“ 活” 變“ 死” 的主要原因，深度學習的要做的就是讓“死”方法變“活”，通過合理規劃，使得解題方法呈現出一般性、系統性的特征.

當三角函數中引入導數時，學生一開始可能不適應，經過問題1與問題2的解答，已經開始體會到導數作為解題工具的可行性，但還沒有感受到導數思想的一般性與優越性，接下去就要引領學生進行新的探索.

問題4 已知f(x)=2sinx+sin2x，求f(x)的最小值.

點評：問題3與問題4不能轉化為一個角的三角函數，因此，無法用解決三角函數的常規方法進行解答，只能把它們看著一般的函數，然后利用導數的一般套路進行求解.學生帶著疑惑經歷思維的轉化過程，而“惑”是新事物、新概念、新命題等新異的學習對象，是與學生已有認知結構發生不協調而產生的正常心理活動現象，學生“解惑”的過程就是深度學習的過程.通過“解惑”，學生獲得了“求導——單調性——極值——最值”結構化的解題思路.

3 直面挑戰性問題，發展高階思維

有難度、有挑戰的學習內容不僅能極大地提升學生的發展空間， 而且也是實現深度學習的前提.所謂的挑戰性，并非只在于純粹的知識難度，而是指得是挑戰學生已有認識成果，也就是說要根據學生認知水平來確定挑戰的水平，而不是一味的拔高難度.當然不可否認，挑戰性的問題對于學生來說確實是難，固然有其本身的原因，但更為重要原因是學生感受不到它與自己已有知識的關聯.因此，為了保證學生能夠挑戰成功，在解題教學中，教師需要對學習內容進行深度加工，將學生難以理解和操作的內容，轉化為一系列的、以學生現有水平能夠獨立實現的操作步驟.

解析：(1)f′(x)=-xsinx，所以f(x)的單調遞減區間為(2kπ,2kπ+π)，單調遞增區間為(2kπ+π,2kπ+2π)，其中k∈N*.

點評：問題5與問題6從其函數的構成上看，不僅包含了三角函數，還包含了其它函數，因此更具一般性.問題6還把加入了數列加了進來，更多的知識交匯在一起，解題過程不僅需要用到解決導數問題的一般步驟，比如，分類討論、參數分離，而且還用到了放縮的技巧.這兩個問題綜合性的特點使得解題過程極具挑戰性，需要學生調用高階思維，聯系、加工、處理、轉換與任務密切相關的信息和知識，將外部的任務信息變成自己熟悉的信息.

當然，知識交匯之處也是方法的交匯之處，更是思維火花的碰撞之處，因此深度學習在知識交匯之處更容易發生.為了能夠順利構建知識交匯的事實，教師也需要進行深度學習，實現對學科知識的再理解，從而促使自我教學理念與行為的轉變.