突破數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的兩則教學(xué)案例

江蘇省泗洪中學(xué) (223900) 云廣亮

教學(xué)難點(diǎn)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不容易理解與接受的內(nèi)容，或憑借學(xué)生個(gè)人能力難以解決的問(wèn)題或任務(wù).每個(gè)教學(xué)難點(diǎn)都是相對(duì)于學(xué)生的接受程度而言，維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，明確揭示了教學(xué)難點(diǎn)形成的主要原因，是知識(shí)的難度超越了學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)范圍.為此，筆者對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的突破，作了一定的實(shí)踐研究.本文從兩個(gè)教學(xué)實(shí)例談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中突破教學(xué)難點(diǎn)，由此促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

案例1“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式”的教學(xué)

問(wèn)題求y=ln(2+x)的導(dǎo)數(shù).

分析：在本節(jié)課之前，師生已經(jīng)共同研究過(guò)如何用定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則以及初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容.對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)，并沒(méi)有求“復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)公式”的要求，對(duì)學(xué)生的要求僅僅是記憶并應(yīng)用公式.

為此，筆者在首次教學(xué)本題時(shí)，就直接將復(fù)合函數(shù)的定義(y=f(g(x)))呈現(xiàn)給學(xué)生，并交代清楚其定義域、內(nèi)函數(shù)、外函數(shù)，及內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的值域、定義域間具有怎樣的關(guān)系；而后提供一些常規(guī)的復(fù)合函數(shù)，要求學(xué)生進(jìn)行內(nèi)、外函數(shù)的辨認(rèn)；接著提供復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式：如果y=f(g(x))，那么y′=f′(u)·u′(x)，且u=g(x)；最后帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的應(yīng)用練習(xí).

整個(gè)教學(xué)過(guò)程看似無(wú)可挑剔，一切都水到渠成.但筆者心里總覺(jué)得本節(jié)課少了點(diǎn)什么.為此，課后找來(lái)幾個(gè)學(xué)生進(jìn)行交流，學(xué)生一致認(rèn)為本節(jié)課并不難，所有練習(xí)都沒(méi)問(wèn)題.就是對(duì)于為什么要求y′=f′(u)·u′(x)這一步，不太理解.

對(duì)于學(xué)生提出的問(wèn)題，筆者進(jìn)行了反思：本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是什么？結(jié)合學(xué)生所反映的情況與教學(xué)要求，發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的概念與求導(dǎo)公式為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).對(duì)于概念這個(gè)難點(diǎn)，通過(guò)之前的教學(xué)已經(jīng)化解，而求導(dǎo)公式卻因忽略了求導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)，學(xué)生就強(qiáng)行記憶，難怪整個(gè)課堂波瀾不驚.

雖然課程標(biāo)準(zhǔn)并沒(méi)有對(duì)復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)公式的形成過(guò)程作要求，但這并不能說(shuō)明學(xué)生不需要理解推導(dǎo)公式的合理性.究竟該從什么角度出發(fā)，怎樣突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)呢？筆者將教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了如下改進(jìn)：

師：我們一起來(lái)觀察y=ln(2+x)的結(jié)構(gòu)，大家思考一下，是否可用之前我們所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？

生1：好像不行，沒(méi)有公式可以直接使用，定義也不好求.

師：當(dāng)我們遇到困難時(shí)，該怎么辦？

生2：化未知為已知.

師：對(duì)啦！現(xiàn)在我們來(lái)觀察一下，這個(gè)函數(shù)與我們之前學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)看起來(lái)類似？

生3：與對(duì)數(shù)函數(shù)(y=lnx)有點(diǎn)像，就是自變量的位置換成了代數(shù)式.

師：觀察很到位，如此求導(dǎo)過(guò)程就變得復(fù)雜了，有沒(méi)有什么辦法能簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度？

生4：我們可以用換元法，讓u=2+x，外函數(shù)就是y=lnu.

師：如此可求導(dǎo)嗎？

師：難道和內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)毫無(wú)關(guān)系嗎？若求y=ln(x2+2)導(dǎo)數(shù)，該怎么辦？

(學(xué)生分析并呈現(xiàn)結(jié)論，略)

師：由此可確定y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)嗎？

生7：可以，據(jù)此可確定y′=f′(u)·u′(x)，u=g(x).

師：非常好！哪位學(xué)生愿意主動(dòng)根據(jù)以探究過(guò)程，對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行一個(gè)總結(jié)？

生8：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的乘積.

評(píng)注：針對(duì)本題的教學(xué)改進(jìn)，雖然教師沒(méi)有帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式是如何得來(lái)的過(guò)程，但學(xué)生對(duì)該公式的合理性與內(nèi)涵有了清晰的認(rèn)識(shí).有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到，公式并非是機(jī)械性的靜態(tài)知識(shí)，還蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵.

案例2“函數(shù)單調(diào)性”的概念教學(xué)

分析：這是高中階段教學(xué)難點(diǎn)之一，學(xué)生認(rèn)知障礙主要存在兩個(gè)方面：第一，對(duì)區(qū)間(I)內(nèi)的任意兩個(gè)值如何理解；第二，怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述增函數(shù)與減函數(shù).若學(xué)生對(duì)“任意”的理解不夠透徹，就無(wú)法揭示函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，也無(wú)法體悟“用任意值x1、x2的大小關(guān)系對(duì)f(x1)、f(x2)的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，能獲得函數(shù)單調(diào)性的整體性質(zhì)”.鑒于此，筆者作了以下教學(xué)設(shè)計(jì)：

隨著以上三個(gè)問(wèn)題的逐個(gè)突破，教師初步提出單調(diào)性的定義，并將函數(shù)值y隨著x的增大而增大或減小的函數(shù)統(tǒng)稱為增、減函數(shù).

問(wèn)題2反比例函數(shù)與二次函數(shù)在其定義域上具有單調(diào)性嗎？

針對(duì)此問(wèn)，師生進(jìn)行溝通，并獲得進(jìn)一步的完善定義為：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足自變量x增大，那么y會(huì)增大或減小，則稱函數(shù)f(x)于區(qū)間I上為增或減函數(shù)，而區(qū)間I則為函數(shù)f(x)的增或減區(qū)間.

問(wèn)題3已知函數(shù)y=x2,x∈R，當(dāng)x的取值為-1，2，3，4，…，對(duì)應(yīng)的y為1，4，9，16，…，我們可否認(rèn)為函數(shù)值y隨著x的增大而增大呢？是否能確定該函數(shù)為增函數(shù)呢？說(shuō)明理由.

隨著這個(gè)問(wèn)題的解決，師生共同總結(jié)出這樣一個(gè)結(jié)論：若想證明一個(gè)論斷的成立，離不開科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程；而要確定一個(gè)論斷并不成立，僅需一個(gè)小小的反例即可.

問(wèn)題4一組函數(shù)的值，不會(huì)隨著自變量的增大而增大，可確定該函數(shù)在區(qū)間I上并非是增函數(shù).若想確定函數(shù)f(x)為增函數(shù)，需要多少組函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大呢？需要無(wú)數(shù)組嗎？

評(píng)注：不少學(xué)生常用“代幾組值”的方式，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，這種方法凸顯出學(xué)生并未從真正意義上理解單調(diào)性的本質(zhì).反例的應(yīng)用，則能讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)辯證的認(rèn)知過(guò)程，從根本上理解什么是單調(diào)性，對(duì)概念的內(nèi)涵與外延產(chǎn)生深刻理解.

同時(shí)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征增、減函數(shù)是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).實(shí)踐證明，教師可分以下幾步逐層突破：

問(wèn)題5對(duì)于“x增大、y增大、y減小”，該用怎樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述？

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，大小一般可以理解為比較，那么一個(gè)x就不夠用了.由此就引出了任意兩數(shù)用x1、x2來(lái)表示，相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值則用y1、y2來(lái)表示.至于大小，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，學(xué)生首先想到的就是“>、<”.

問(wèn)題6x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)呢？

借助圖象，在區(qū)間I上，當(dāng)x1,x2∈I，從左往右看，圖象呈上升趨勢(shì)，如果x1y2.

問(wèn)題7怎樣避免出現(xiàn)以偏概全的現(xiàn)象？對(duì)于x1，x2有怎樣的要求？請(qǐng)清晰書寫出函數(shù)單調(diào)性的概念.

隨著此問(wèn)的探究，教師根據(jù)學(xué)生的所呈現(xiàn)的實(shí)際情況，適時(shí)給予點(diǎn)撥與引導(dǎo)，有效地深化了學(xué)生的函數(shù)單調(diào)性概念的理解.學(xué)生在概念書寫過(guò)程中呈現(xiàn)出一些細(xì)節(jié)方面的錯(cuò)誤，筆者一一進(jìn)行糾正，以保證學(xué)生對(duì)概念理解的完整、規(guī)范，為完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)夯實(shí)基礎(chǔ).

評(píng)注：教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，為了突破學(xué)生語(yǔ)言表述的難點(diǎn)關(guān)，教師結(jié)合了圖象、語(yǔ)言表述與數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)相結(jié)合的方式，通過(guò)看、說(shuō)、寫等方式，將學(xué)生難以理解的概念先進(jìn)行拆分，而后再重組，讓學(xué)生從真正意義上實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的全面認(rèn)識(shí).

總之，教學(xué)難點(diǎn)具有不可小覷的教學(xué)價(jià)值，突破難點(diǎn)的過(guò)程，即為促進(jìn)學(xué)生思維成長(zhǎng)的過(guò)程.教師在處理教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，應(yīng)從化難為易的角度出發(fā)，在凸顯學(xué)生主體性地位的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生親歷難點(diǎn)的突破過(guò)程，讓學(xué)生的收獲多一些，課堂收益更廣一些.