高考真題展“容顏”，變式拓展三“境界”

內(nèi)蒙古呼和浩特市第二中學 (010010) 余碧波

1.真題呈現(xiàn)

2.真題破解

故填答案：0(答案不唯一，只要在[0，1]內(nèi)取值即可)；1.

解法2：(分類討論法2)由于函數(shù)f(x)的最值與函數(shù)的單調(diào)性相關，可通過考慮0，2為分界點來研究函數(shù)f(x)的性質(zhì).當a<0時，f(x)=-ax+1，x2時，f(x)=-ax+1，x

綜上得a的取值范圍是[0，1]，故a的最大值為1.

故填答案：0(答案不唯一，只要在[0，1]內(nèi)取值即可)；1.

3.變式拓展

(1)變式第一境界——打好基礎

(2)當x≤0時，函數(shù)y=x3遞增且值域為(-∞，a3]；當x>0時，函數(shù)y=-3x遞減且值域為(-∞，-3a)，當a≥0時，顯然a3≥-3a，故存在最大值f(a)=a3，當a<0時，顯然-3a>a3，即f(x)無最大值.綜上，可得a<0.故填答案：0；(-∞，0).

圖1

(2)在同一平面直角坐標系下畫出函數(shù)y=x3和y=|x2+2x|的圖象，如圖1所示，由x3=|x2+2x|，解得x=0或x=2，因為函數(shù)f(x)的值域為R，由圖可知a=0或a≥2.故填答案：R；{a|a=0或a≥2}.

(2)若f(x)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是.

②當x≤2時，y=-x+3遞減，最小值為f(2)=1.當02時，y=logax1時，且x>2時，y=logax>loga2，要使函數(shù)有最小值，則必須滿足loga2≥1，解得1

(2)變式第二境界——合理鞏固

圖2

解析：當a=2時，f(4)=3+log24=3+2=5.若該函數(shù)的值域是[4，+∞)，故當x≤2時，滿足y=-x+6≥4.當x>2時，由y=3+logax≥4，所以logax≥1，若02時，logax<0，不成立；若a>1，函數(shù)y=logax為增函數(shù)，所以loga2≥1?loga2≥loga2?1

(3)深層：變式第三境界——全面提升

圖3

解析：由題意得f(0)=min{2，b}=b，所以b≤2，即實數(shù)b的取值范圍為(-∞，2].在同一坐標系中作出函數(shù)h(x)=3-|2x+1|及函數(shù)g(x)=ax2+b的大致圖象，如圖3所示，令3-|2x+1|=2，解得x=-1或x=0，結合圖象可知，若f(x)最大值為2，則g(-1)=a+b=2.故填答案：(-∞，2]；2.

(1)若函數(shù)f(x)在(-∞，1)上有且只有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為； (2)若函數(shù)f(x)的最大值為1，則a=.

解析：(1)當x∈(-∞，1)時，y=-x2+ax，求導可得y′=-2x+a，若函數(shù)f(x)在(-∞，1)上有且只有一個極值點，則y′=-2x+a=0在(-∞，1)上有解，故a<2.

4.教學啟示

通過以上高考真題的三個不同層面的變式拓展，從表層、中層、深層這三個不同層面進行合理的變式拓展，表層是打好基礎，中層是合理鞏固，深層是全面提升，質(zhì)疑問難，變式遞進，層層推進，在熟練掌握數(shù)學知識、思想方法的基礎上，獲得成功的體驗，從而激發(fā)、培養(yǎng)良好的質(zhì)疑與探究思維習慣，形成有效的數(shù)學能力，有效激發(fā)對問題探究與深入的好奇心，產(chǎn)生新的思考與探究，從而不斷提升解題能力、創(chuàng)新能力與探索能力等.