一道省模考題引發的邏輯問題

廣東省南雄市第一中學 (512400) 黃學波

一、問題緣起

化簡上述三個論斷，求出角的值或角的關系，并以其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出所有可能的真命題.(不必證明)

其參考答案如下:

論斷②，∵c=2bcosB，由正弦定理得sinC=2sinBcosB=sin2B，∵C∈(0,π)，2B∈(0,2π)，∴C=2B或C+2B=π.

以其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，所有可能的真命題有：

①③?②和①②?③.

在一次教研活動中，有老師對參考答案提出了質疑：對答案中的①③?②沒有異議，但對①②?③，有人認為真命題，也有人認為是假命題，還有人認為②③?②與①③?②形式上一樣，也應該是真命題.

究竟參考答案有沒有問題呢？為了弄清楚這個問題，我們必須用邏輯代數或數理邏輯知識進行分析，才能得出讓人信服的結論.

二、邏輯知識

由邏輯代數或數理邏輯知識，我們知道，對于A∧B、A∨B及A?B有如下邏輯真值表(1表示“真”，0表示“假”)：

ABA∧BA∨BA?B00001010111001011111

從真值表可知，當且僅當A真、B假時，A?B為假.用真值表或由定義(符號“=df”表示定義的意思，“=”表示左右兩邊的邏輯式真價相等，即常說的“等價”)：A?B=df(A∧B)=A∨B，結合邏輯運算，我們可以證明：A∨B?C=(A?C)∧(B?C).下面用定義和邏輯運算給出證明.

∵A∨B?C=(A∨B)∨C=(A∧B)∨C

一般地，有A1∨A2∨…∨An?C=(A1?C)∧(A2?C)∧…∧(An?C).

這個結論解釋了一個全稱命題A1∨A2∨…∨An?C為真，為什么必須Ai?C(i=1,2,…,n)均為真的理由.

同時易知，A∨B?C≠(A?C)∨(B?C).

同理，可證：A?B∨C=(A?B)∨(A?C)，一般地有A?C1∨C2∨…∨Cn=(A?C1)∨(A?C2)∨…∨(A?Cn).

三、問題分析

有了前面的有關命題的理論知識后，我們從邏輯的視角對前面的問題加以分析.

那么①②?③等價于R∧M∧(S∨P)?N=(R∧M∧S)∨(R∧M∧P)?N=((R∧M∧S)?N)∧((R∧M∧P)?N).

綜上可知，①②?③為真.

而②③?①等價于R∧(S∨P)∧N?M=(R∧S∧N)∨(R∧P∧N)?M=(R∧S∧N?M)∧(R∧P∧N?M).

綜上可知，②③?①為假.

而①③?②等價于R∧M∧N?S∨P=(R∧M∧N?S)∨(R∧M∧N?P).

綜合以上分析，可知參考答案正確.

四、變式應用

在本次教研活動中，還有老師提出下面的問題，認為不好判斷它們的真假：

問題：判定下列三個命題的真假：

(A)若x=1,3x+y=5或x=y,則y=1；

(B)若x=1,y=1,則3x+y=5或x=y；

(C)若y=1,3x+y=5或x=y,則x=1.

現在我們用上述邏輯知識給予分析判斷.

解：為了了解各命題的邏輯結構及其相互關系，和前面一樣，我們用M表示“x=1”，用N表示“y=1”，用S表示“3x+y=5”，用P表示“x=y”.

對于(A)，由于M∧(S∨P)?N=(M∧S)∨(M∧P)?N=(M∧S?N)∧(M∧P?N),即命題“若x=1,3x+y=5或x=y,則y=1”為真，等價于命題“若x=1,3x+y=5，則y=1”與命題“若x=1,x=y,則y=1”同時為真.而命題“若x=1,3x+y=5，則y=1”為假，命題“若x=1,x=y,則y=1”為真，于是(A)為假.

對于(B),由于M∧N?S∨P=(M∧N?S)∨(M∧N?P),即命題“若x=1,y=1,則3x+y=5或x=y”為真，等價于命題“若x=1,y=1,則3x+y=5”為真或命題“若x=1,y=1,則x=y”為真.雖然“若x=1,y=1,則3x+y=5”為假，但命題“若x=1,y=1,則x=y”為真，所以(B)仍為真.

對于(C)，類似的可判斷其為假.

小結：對于結構較復雜的命題，判斷其真假必須利用邏輯真值表并結合邏輯運算才能厘清命題的邏輯結構，從而正確地判斷其真假.