對一道質檢題錯解的剖析及探究

福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319) 楊 吉 周 寧

2022月5月福州進行高三質檢，其中第20題為解三角形問題.該題以三角形為載體考查正弦定理、余弦定理等知識，該題推陳出新，脫離常規的邊角轉換思路，需要學生結合圖形進行條件轉化，是很好的試題.遺憾的是，命題者對條件的理解不夠，導致解答出錯.本文展現其錯解，并對該題進行一些延伸拓展.

一、試題呈現

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2sinAsinB，點D在邊AB上，且CD⊥AB.

二、解法賞析

廈門葉超杰老師在上述解法的基礎上對角C的兩解進一步判斷：

圖1

三、問題剖析

四、拓展延伸

從上述問題的辨析我們看出，命題者的解答出錯的原因在于對sinC=2sinAsinB條件認識不夠充分導致未對多解進行檢驗排除.也就是說，在銳角△ABC中，形如sinC=2sinAsinB結構就蘊含角C的范圍限制.因此筆者對該條件作一些改變，進行拓展探究.

探究一在銳角△ABC中，sinC=λsinAsinB，求tanC的取值范圍.

探究二在銳角△ABC中，sinC=λcosAcosB，求tanC的取值范圍.

探究三在銳角△ABC中，cosC=λsinAsinB，求tanC的取值范圍.

探究四在銳角△ABC中，cosC=λcosAcosB，求tanC的取值范圍.