深入探討化繁為簡 一題多解浸潤素養(yǎng)
——以一道高考函數(shù)題的多解為例

重慶市第八中學校 (401120) 毛 閏 謝 強 胡 藝

一、引言

函數(shù)是高中數(shù)學的主要內(nèi)容，也是一個教學難點，其內(nèi)容廣泛，考查形式豐富，具有較強的綜合性.導數(shù)作為兼具代數(shù)運算和幾何意義的一個重要概念，是研究函數(shù)性質(zhì)和解決有關函數(shù)問題的有力工具，所以函數(shù)和導數(shù)的結合能夠很好地考察學生思維的嚴謹性、綜合性等特點，同時它也是邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.運用導數(shù)解決不等式含參恒成立問題是高考的一個?？键c，也是學生學習導數(shù)章節(jié)時必須掌握的題型之一.本文對2010年高考新課標數(shù)學理科21題第(2)問的多解進行探討，踐行此類題求解“有法可循、有法可依、有法可試”的理念，由此提升學生解決此類問題的信心和眼界，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

二、問題求解研究

題目(2010年高考新課標數(shù)學理科21題)設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：(1)當a=0時，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1.當x∈(-∞,0)時，f′(x)<0；當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0.故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)，單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).現(xiàn)著重探討與研究第二問的解法與思路，開拓學生思維，增強學生的數(shù)學能力.

(一)直接處理，分類討論

第(2)問是一個不等式含參的恒成立問題，并且由于求導后導函數(shù)依然是超越函數(shù)，不容易判斷零點，需考慮再對導數(shù)求導.因此，不確定性以及要想到求二階導是本題的難點.所以需要對參數(shù)進行分類討論，將不確定性問題轉化為確定性問題來解決.

評注：本解法思路相對簡單，主要是想求出f(x)的最小值，為此需要判斷單調(diào)性，自然而然就想到了求導，但求導后依然判斷不了導函數(shù)的正負性，由于二階導是可以研究一階導的性質(zhì)，所以筆者嘗試著求二階導，然后通過分類討論解決此問題.但解法一的不足之處在于通過多次求導才解決此問題，能否只求一階導就可解決此問題？

評注：為了減少求導次數(shù)，解法中想到對函數(shù)y=φ(x)ex+n(其中n為常數(shù))求導后正負性與ex無關，故對f(x)≥0進行變形.雖然本解法只求一階導就可以把問題解決，但不足之處在于討論的情況變得復雜了.

(二)緊扣“上文”，巧妙放縮

很多學生在處理問題時，不會“瞻前顧后”，聯(lián)系上下文.實際上，本題的第一問有命題者的意圖，這也間接考察到邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).f′(x)=ex-1-2ax不好處理的原因在于ex-1-2ax=0是超越方程，不易求解，但通過第一問易知ex-1≥x，由此想借助這個不等式進行放縮處理.

評注：放縮法是高中數(shù)學證明不等式的一種非常重要的方法，適當放縮可以簡化問題.本解法通過借助第一問巧妙放縮后，明顯比前兩種解法簡化了許多，不僅只需求一次導即可解決問題，而且減少了討論情況.

(三)分參處理，避免討論

處理含參恒成立問題一般兩種辦法，一是直接法，另一個就是分離參數(shù).但是分參也需要注意，一是要證明的式子能否分參？二是分參處理真的會使問題簡化嗎？只有通過實踐，大膽的嘗試、小心的求證后才能下結論.

評注：雖然通過分參避免了討論，但有幾個難點，一是最后g(x)在x=0處無意義，需通過極限來求其下界，且用到了洛必達法則；二是求導后依然不好判斷g′(x)的符號，以至于還需進一步處理，解法中想到g′(x)正負性只和g′(x)的分子有關，此時要么對g′(x)的分子求導，但求導之后的超越函數(shù)依然不好判斷正負，還需再求導，這也是此法的一個難點.

(四)數(shù)形結合，妙用相切

數(shù)形結合可以讓我們很直觀的感知函數(shù)的變化趨勢，直觀的理解抽象的數(shù)學問題.因此，在解決不等式恒成立求參數(shù)范圍問題時，可以將不等式拆成兩個容易做出圖像的函數(shù)，通過函數(shù)圖象確定兩式大小關系，或借助ex-1≥x，x-1≥lnx等常見不等式，通過函數(shù)圖像的切線進行放縮，放縮時要關注函數(shù)圖象在某處的切線，大膽猜想，小心求證.

圖1

評注：本解法雖然能通過適當變形后，轉化為熟悉的二次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)，同時關注切線位置，快速解決問題.但此法有幾點不足之處：一是圖形只能直觀感知，但并不嚴謹，所以只適用于解決小題以及對大題起到輔助作用；二是雖然拆分的兩個函數(shù)圖象容易畫，但是由于兩個函數(shù)圖象均為曲線，并不能很好的解釋說明和直觀感知.

圖2

評注：此法與解法五對比，明顯可以通過函數(shù)圖象更加直觀感受到a的取值范圍變化時兩函數(shù)之間的大小關系.

(五)大學視覺，拓展思路

對于此題，我們還可以從微元角度來探討，給出以下解法.

評注：“站得高，看得遠”，我們應該站在一個更高的角度來看待問題，這樣既可以拓展思路，發(fā)散思維，提升素養(yǎng)，同時又能看清事物的本質(zhì).數(shù)學知識不只局限于中學知識，也不只局限于大學知識，還有很多未知的數(shù)學知識和方法，都值得我們?nèi)ヌ綄?

三、反思總結

在抽象的意義下，一切科學都會是數(shù)學的應用；數(shù)學這樣美妙的學科，揭示無形的靈魂，賦予真理以生命，為思想增添光輝.數(shù)學的重要性不言而喻，解題又是學習數(shù)學環(huán)節(jié)的重要環(huán)節(jié)，羅增儒教授對數(shù)學解題水平做了劃分，其中第4水平為：能自覺通過解題分析增強數(shù)學理解、提高數(shù)學素養(yǎng).進行自覺的解題反思，通過分析“怎樣解題”而領悟“怎樣學會解題”.數(shù)學問題的迅速識別，解題思路的主動設計，知識資源的理性配置，解題方法的靈活運用，解題策略的適宜調(diào)控，解題過程的自覺反思，努力通過解題獲得數(shù)學的理解，使認識進入深層結構.能從數(shù)學操作和正確答案中看到數(shù)學知識和數(shù)學方法的應用，能從數(shù)學思想和思維策略中提煉數(shù)學核心素養(yǎng).對于一題多解的探尋與研究，正是朝著這“第4水平”的方向前行.