基于數學模式的一題多解探析
——以兩道北大招生考試題為例

湖南師范大學數學與統計學院 (410081) 嚴 瑾 夏世嬌 吳仁芳

數學模式是指形式化的采用數學語言，概括的或近似的表述某種事物系統的特征或數量關系的一種數學結構，各種基本概念、理論體系、定理、法則、公式、算法、命題、方法都是數學模式.一題多解是教學中最常見的實施過程性變式的一種途徑，是以原題為中心，向它蘊涵的各個維度進行拓展和深化，揭示數學概念及定義的本質屬性和非本質屬性.通過這種教學方式，一方面可以將解題的過程層次化，加深學生對該問題理解與認識，從而減輕了解題過程中思維的負擔，開拓了學生解題的思路，激發了學生解題的興趣，從而形成多層次的思維結構；另一方面，也可以提升學生的發散性思維能力，培養了學生的創新意識和創新思維，使得學生善于全面地觀察問題，運用多方面的知識經驗與聯系去尋求解題的方法，使解題涉及的知識和方法更趨于豐富與嫻熟，提高了學生的數學問題解決能力.

模式1：構造放縮模式，列項相消求證

模式2：構造定積分模式，利用面積求證

數列是離散的，而定積分是連續的，而數列求和這樣一個樸素的題型，通過微分近似的橋梁，巧妙地可以和積分連系起來，微分的概念將分割的數列求和升華成連續情形下的定積分，在高中必修教材里，有定積分與數列求和的聯系.

例1的兩種思路，圍繞著兩種不同的數學模式展開，都具有很強的代表性，第一種代表了不等式常用的放縮技巧，需要求證者對基本概念及方法等模式具有很好的理解，才會產生合適的表征方式；第二種方法也與高中生的知識結構相通，定積分概念等模式是否理解深刻，但學生在解題過程中使用比較少，對于高中生是一種比較新穎和難以直接想到的方法.

A.1 B.2 C.3 D.前三個答案都不對

模式3：構造函數模式，消除變量求解

將兩式相加可消除變量xi，即f(0)+f(4)=8064-4032a，當a=2時，有f(0)+f(4)=0，并且由函數f(x)=x2在區間[0,4]上的連續性，可知f(x)在[0,4]上至少有一個零點，本方法中構造函數模式，就是使用函數的方法研究和解決函數的問題以及構建函數關系式來研究和解決非函數問題，解方程的過程就是求函數的零點的過程，利用模式識別的方法，考查了學生構造性思維的能力.

模式4：構造分離參數等價識別模式，轉換條件求解

用分離參數法解決方程恒有解的問題是指在含有參數的方程中，通過適當的恒等變形,使方程的一端化成只含參數的解析式，而另一端為與參數無關的未知數的函數,再求出此函數的值城，即得參數滿足的條件，從而可求出參數的取值范圍，其解決問題比較簡單和易操作的原因在于通過分離參數實現了研究動直線與固定的曲線之間的位置關系問題，在幾何直觀上更容易理解.

首先固定x1,x2,…，x2016，得到一個關于x的函數，不妨令x1≤x2≤x3≤…≤x2016.在處理絕對值求和函數的最值時候，我們需要對分段點個數的奇偶性做討論.

(2)當n=2k，且k∈N時， 區間 [ak,ak+1] 里的每一項都是f(x)的最小值的項，特別的如果ak是整數，整數解只有兩項.

轉化識別模式是解題者遇到不能直接解決的問題時候，不能辨認它屬于哪個基本模式，但將條件或結論做出變形、或深層理解后就屬于基本模式了，從而可以解決更加靈活的問題.

模式5：構造絕對值不等式模式，疊項相加求解

模式6：構造邏輯關系模式，條件互推求解

常用邏輯用語的內容是進入高中階段后首先學習的預備知識，學生往往對其印象深刻，可以將之稱為“存于記憶的數學模式”，是在解題當中積累的基本經驗被自己總結內化以后所形成的圖式.

例2的四種方法，圍繞著四種不同的數學模式展開，具有豐富的模式特征和代表意義.

第一種方法以高中常見的函數模式為基礎，討論了函數在區間端點的函數值，這一方法步驟為高中生所熟悉，結合高中生已有的知識結構背景，這種方法是最易習得的；第二種代表了等價模式的轉換，在尋找與題意相符合的等價模式的過程中，要求解題者思考縝密，對相關概念和內涵理解透徹，對其邏輯思維能力具有很高的鍛煉價值；第三種方法代表了不等式常用的定理和疊加技巧，需要解答者對相關基本定理和方法等模式理解深刻，掌握熟練，才得以在習題中靈活應用，第四種方法運用了關系模式中的充要條件，反映了命題間相互推導的邏輯關系，啟發學生運用多方面的知識經驗與聯系去尋求解題方法.

由此可見，基于試題本身特征的模式識別結構可用于一題多解的研究，促使學生在解題的過程中夯實基礎，關注基本模式，培養創造性思維，形成多層次的思維結構從而提高學生的數學解題能力，在幾種典型解法獲取之后,可把更寶貴的時間用到多解歸一，尋找經典模式之間的內在聯系，并且能對模式進行變式改編或者拓展研究，針對不同層次的同學進行針對性教學.