一道平面向量最值問題的解法及其題源探究

南昌大學附屬中學 (330047) 陳 松

平面向量中的最值問題，是一個熱點問題，也是一個難點問題.其題型一般是根據所給的條件求某個量的最值，如向量的模、數量積、夾角及向量的系數等，解法靈活多樣，變化多端，蘊含著數形結合、轉化與化歸等數學思想.本文以2022年天津市三模的一道平面向量最值題為例，探究該題在不同視角下的解法及其題源.

(2)向量兼具代數和幾何雙重特征，向量最值問題的解題方法較多，綜合性強，由題意，本小題可從以下視角確解.

視角1坐標化

解法一：利用三角函數有界性求出最大值.

圖1

評注：注意到點M的為位置會根據點P的位置發生變化，可以通過考慮點P的軌跡方程尋找點M的軌跡，從而借助軌跡方程將問題轉化為函數(或不等式)問題.

評注：利用相關點法找出點M的軌跡方程，然后將問題轉化為一次(或二次)函數最值問題，這也是平面向量最值問題中常用解法.

視角2從幾何性質出發

評注：本解法的關鍵在于找到點M的軌跡，將問題轉化為曲線上的動點和曲線外一點的距離問題，所以將目標轉移到尋找動點M的軌跡，問題.

視角3從基底和定義出發

圖2

評注：本解法的關鍵是選擇合適的基向量，簡化目標向量的運算，達到化繁為簡，并運用適當的數學方法，如定義法、二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等達到求解問題.

平面向量最值問題綜合性強、靈活性大，我們從不同的視角尋找解題思路，往往可以得到不同的解決方案，恰是“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”.萬事萬物總有源，開啟尋源之旅，更有利于學生知識的串聯，加深對知識本質的理解，培養學生解題和探究能力.