例談拉格朗日乘數(shù)法的初等化應用

江蘇省梅村高級中學 (214112) 陶煜瑾

拉格朗日乘數(shù)法是高等數(shù)學中求多元函數(shù)條件極值的重要方法，方法程序性強，容易掌握.由于其涉及高等數(shù)學中的知識，不便于高中學生的理解，所以需將其進行初等化，變化其結(jié)構(gòu)方便高中學生理解與操作.

1 拉格朗日函數(shù)的初等化

對于已知條件二元方程φ(x,y)=0，求目標函數(shù)f(x,y)的極值問題，我們可以先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)l(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，由于φ(x,y)=0，我們可以發(fā)現(xiàn)f(x,y)的極值即為l(x,y)的極值，且與λ無關.

fy′(x,y)≠0，由此方程組可以找出目標函數(shù)的極值點.

2 拉格朗日乘數(shù)法求最值

2.1 整式型條件最值

例1 設x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最值.

解析：設f(x,y)=2x+y，φ(x,y)=4x2+y2+xy-1=0，由拉格朗日乘數(shù)法可知

評注：運用拉格朗日乘數(shù)法求最值，其中條件方程與目標函數(shù)的最優(yōu)形態(tài)為整式形式，此時求偏導最為方便.

2.2 分式型條件最值

評注：運用拉格朗日乘數(shù)法求最值，其中條件方程為分式時，可以將條件化為整式，從而方便求偏導.

2.3 結(jié)構(gòu)不良型條件最值

例3 設x，y為實數(shù)，且x2+xy+2y2=3，求x2-xy+2y2的最值.

評注：運用拉格朗日乘數(shù)法求最值，其中目標函數(shù)比較復雜時可以利用條件方程簡化目標函數(shù)，從而方便求偏導.

3 無極值條件最值

例4 設x，y為實數(shù)，且5x2+4y2=10x，求x2+y2的最大值.

解析：設f(x,y)=x2+y2，φ(x,y)=5x2+4y2-10x=0，由拉格朗日乘數(shù)法可知

評析：運用拉格朗日乘數(shù)法求最值，若目標函數(shù)無極值，則不可以用拉格朗日乘數(shù)法求最值，此時需要用一般方法求之.

4 多元函數(shù)的最值

由二元拉格朗日乘數(shù)法可知，對于已知條件方程φ(x1,x2,…,xn)=0，求目標函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的極值問題，我們可以先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)l(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+λφ(x1,x2,…,xn)，由于φ(x1,x2,…,xn)=0，我們可以發(fā)現(xiàn)f(x1,x2,…,xn)的極值即為l(x1,x2,…,xn)的極值，且與λ無關.因為

例5 設x，y為實數(shù)，且2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值.

評注：對于三元及三元以上的帶限制條件的最值，若目標函數(shù)有極值也可以用拉格朗日乘數(shù)法求最值.