蝴蝶定理在圓錐曲線中的幾個(gè)命題及應(yīng)用

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (330022) 張思凡

作者現(xiàn)為2020級(jí)數(shù)學(xué)教育碩士研究生.

蝴蝶定理是平面幾何中的經(jīng)典命題，因其圖形像一只偏偏起舞的蝴蝶而得名，該命題的證明及推廣自其問世以來就一直吸引了眾多數(shù)學(xué)愛好者的研究.實(shí)際上，蝴蝶定理在圓錐曲線中也有多種形式的變形和推廣.本文擷取相關(guān)的幾個(gè)命題，并對(duì)其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析.

圖1

蝴蝶定理如圖1,過圓中AB弦的中點(diǎn)M作任意兩弦CD和EF,連接ED和CF分別交AB于P、Q,則PM=MQ.

1.與蝴蝶定理相關(guān)的命題

命題1 如圖2,AB是橢圓上平行于長軸的一條弦,M是AB的中點(diǎn)過M作橢圓的任意兩條弦CD,EF,連CF,ED分別交AB于P,Q兩點(diǎn),則MP=MQ.

分析：這是橢圓上的蝴蝶定理,在命題過程中運(yùn)用了蝴蝶定理的結(jié)構(gòu)關(guān)系.要證明MP=MQ,可證明P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為零.

圖2

命題2 如圖3,M是拋物線的弦PQ的中點(diǎn)，過M點(diǎn)引拋物線的任意兩條弦AB與CD，連接AD,BC分別交直線PQ于E、F兩點(diǎn),則ME=MF.

圖3

圖4

命題3 如圖4,AB是雙曲線平行于x軸的一條弦，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線的任意兩條弦CD,EF，連CF,DE交AB于P,Q兩點(diǎn)，則PM=MQ.

由此可將蝴蝶定理推廣至一般的圓錐曲線，得到命題4，且命題2-4的證法與命題1相同.

命題4 在圓錐曲線中，過弦AB的中點(diǎn)M作任意兩條弦CD,EF連CF,DE交AB于P,Q兩點(diǎn)，則PM=MQ.

2.蝴蝶定理在解圓錐曲線題中的應(yīng)用

(1)求橢圓C的方程；

圖5

評(píng)析：此題將橢圓上蝴蝶定理中的點(diǎn)M引申到圓外，點(diǎn)B是橢圓外一點(diǎn)，雖然從題目條件中只看到了經(jīng)過點(diǎn)B的一條弦，但經(jīng)過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)直線BA是橢圓的一條切線，因此本題是橢圓上蝴蝶定理的一種特殊情況.本題解答的關(guān)鍵是求出P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也結(jié)合了定理的證明方法，能較好的考查到學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖6

(1)求橢圓C的方程；

由橢圓上的蝴蝶定理可知,DG=DH.

評(píng)析：本題的第(2)問是以蝴蝶定理為背景，且是以過橢圓長軸上一點(diǎn)的動(dòng)直線引發(fā)的定值問題命制的題.解題的關(guān)鍵主要是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，即將線段的比值轉(zhuǎn)化為直線斜率的比值，再通過結(jié)合橢圓上的蝴蝶定理，將問題求解.這能較好的考查到學(xué)生分析問題和解決問題的能力.