“大觀念”引領下恒成立問題的求解策略

華南師大附中汕尾學校 (516600) 潘 宇

人教A版新教材以核心素養為導向，對高中數學知識進行了串聯、整合與重構，形成了新的主題單元，使得“大單元”“大概念”“大主題”教學的觀念深入人心，成為近期的研究熱點，大單元教學設計主要是從數學知識主線、學生認知規律、教學組織原則等方面，將教材中具有某種關聯性的內容進行分析、重組、整合而形成相對完整的數學大單元進行教學設計的一種思想，這就要求我們老師要有全局觀，具備“大觀念”，無論是對待知識的歸納，還是解題思想的總結，都要以“大觀念”統籌兼顧，幫助學生形成更加豐富的數學知識結構和思想方法構架.

在高三的二輪復習備考過程中，由于學生之前已經經歷過各個單元的知識系統歸納，接下來需要對所學知識進行二次加工，在提升解題思維方面狠下功夫.所以我們老師需要找到合適的機會，引導學生回到整體，將相關聯的知識、方法進行歸類、整合、“組塊”，以“大觀念”引領二輪復習，幫助學生形成豐富的知識網絡和解題方法體系，爭取為學生核心素養的提升添磚加瓦.本文筆者以“恒成立問題的求解策略”為例，展開說明.

一、借助思維導圖，“大方向”總結解題經驗

對于“恒成立問題”，學生在高一、高二以及高三一輪復習中，經常接觸，但學生難以避免的會以“碎片化”的形式就題論題，由于學生之前所學的知識與方法有限，導致很多老師會分專題展開教學，如依次開展“分離參數”、“虛設零點”、“必要性探路”等專題帶領學生逐個擊破難點.但到了二輪復習階段，筆者認為我們教師要有全局意識，以“大觀念”統籌講過的各種思想方法，才能幫助學生形成完整的網狀結構，所以筆者總結了如下的思維導圖：

二、全分離，再求最值

分離參數是處理恒成立問題最為直接好想的方法，學生也普遍喜歡使用這種快捷的方法，但是分離后的函數是否容易處理，能否求出最值，還得具體情況具體分析.筆者將全分離后的解題方向總結如下：

例1 若4lnx-ax-a+8≤0恒成立，則a的范圍為.

例2 若xex-lnx-1≥ax恒成立，則a的范圍為.

總結：由于g′(x)的零點存在卻無法解出，所以采取“虛設零點”.化簡式子x02ex0+ lnx0= 0的過程中，構造了常見的同構函數F(x)=xex.可以發現“虛設零點”和“同構”往往相伴而行.

例3 若(1-a)x≤eax-lnx恒成立，則a的范圍為.

總結：將不等式變成左右“同構”的形式，再構造函數，利用單調性得到內層式子的大小關系，是一種方便快捷的解法.

三、半分離，再數形結合

在全分離得到a≥g(x)后，g(x)不一定容易求導，導后也未必能夠求出最值，有時甚至要動用超綱的洛必達法則去求端點極限.這時可以考慮“半分離”，具體思路如下.

例4 若ex-lnx-1-kx≥0恒成立，則k的范圍為.

圖1

解法1：(分離出直線)由條件得ex-lnx≥kx+1，設直線y=kx+1與h(x)=ex-lnx相切于點(x0,y0)，則

總結：分離出直線這種操作，在做選填題的時候，往往可以四兩撥千斤，但用于解答題是不太恰當，由于格式不嚴謹會被扣分，這一點需要跟學生解釋，不過我們可以用此方法來預判結果.

圖2

總結：將原條件分離成兩個不同的函數分布在不等號的兩邊，若兩個函數的極值點相同，圖形又表現出m(x)min≥n(x)max的特征，則可以考慮嘗試“凹凸反轉”去解題.

四、不分離，直接分類討論，分段取舍

如若“全分離”、 “半分離”過后，函數無特殊規律，難以處理，則可以考慮直接對原函數進行分類討論，經常使用“端點效應”或者“必要性探路”預判答案，再逐段進行討論.思路框架如下.

例5 若f(x)=ex-ax2-x-1≥0在x≥0時恒成立，求a的范圍.

總結：以上解題思路叫做“端點效應”，解題線索梳理為f″(x)≥0?f′(x)遞增?f′(x)≥f′(0)=0?f(x)遞增?f(x)≥f(0)=0.

用同樣的思路與方法，可以解決例6，讀者可以自行嘗試，詳細解答略.

五、系統總結，靈活使用

“恒成立”問題是一個極其龐大的專題，題型多樣，解題方法也是豐富多彩，但是沒有一種方法可以解決所有問題，所以我們老師還要以“大觀念”為引領，幫助學生學會識別、學會轉化，更重要的是學會遇到困難的時候進行迂回探索，不斷化新為舊，找到解題突破口.作為高中數學老師，我們更要有“大觀念”，對“恒成立”這個專題所涉及到的方方面面要了如指掌，在教授學生的時候才能高屋建瓴，才能找到不同的教學策略，面對不同的學生，給與適合他們的精準指導.