構造法在極值點偏移問題中的應用
——從2022年高考全國甲卷21題談起

四川省溫江中學 (611130) 張 君 李武學 胡澤余

1.題目

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2，求證：x1x2<1.

2.試題分析與解析

2022年高考全國甲卷21題綜合考查利用導數研究函數的單調性，再利用單調性與極值求給定條件下參數的取值范圍，在此基礎上研究兩個零點之間的關系，是典型的極值點偏移問題.試題起點較低.

第(1)問較為簡單，具體過程如下：

第二問難度大，需要考生熟練掌握函數的有關性質，以及研究有關性質的基本方法和工具，并達到靈活運用的程度.對數學思想方法的考查也占很大成份，特別是對分類討論思想和轉化思想的要求很高，零點偏移問題的解題大方向主要有兩個：構造對稱函數(以下稱構造法)和減少變量轉化為一元函數(以下稱減元法).本文用討論構造法解析第(2)問，這種方法更易掌握也更常用.

由(1)知f(x)有兩個零點的條件是a>e+1，且在(0,1)和(1,+∞)內各有一個零點,不妨設0

下面證明：當x>1時，ex>ex.

設s(x)=ex-ex,x>1, 則s′(x)=ex-e>0,

以下同解法1.

3.題后反思

解法1和解法2都用的是直接構造法，解題步驟如下:

弄清了構造法的解題思路和突破其中難點的一些常用方法以后，對類似的問題很容易找到解題方向.但是，因為不同的題條件不同，所以在實際運用中還需要根據具體情況靈活處理，有時甚至還要對解題方法作一定的變通，活學活用才是最重要的.

從下面這道題的解法中可以進一步理解構造法的解題思路.

4.應用

(2022年成都蓉城名校聯盟第二聯考第21題)已知函數f(x)=x2+(1-2a)x-alnx，a>0.若f(x)有兩個零點x1，x2，求證：x1x2>1.