抽象函數(shù)巧思維 求解規(guī)律妙歸納

安徽省淮北市第七中學 (235099) 王 凱

1.真題呈現(xiàn)

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

這里2022年高考數(shù)學全國乙卷理科第12題，此題以兩個抽象函數(shù)之間的關系式以及其中一個抽象函數(shù)圖象的對稱性來創(chuàng)設情境，求解另一個抽象函數(shù)中連續(xù)正整數(shù)所對應的自變量所對應的函數(shù)值之和.對于此類抽象函數(shù)問題，可以利用函數(shù)的基本性質(zhì)(包括奇偶性、單調(diào)性、對稱性與周期性等)來分析與轉化，構建關系，尋找規(guī)律，借助函數(shù)值的分析與求解來處理，對數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.

2.真題破解

評析：以上解法主要是根據(jù)抽象函數(shù)圖象的對稱性，以及給定的關系式，通過代換處理與賦值處理，結合函數(shù)的奇偶性與周期性的定義來判斷抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，并結合遞推關系式確定一個周期內(nèi)的對應函數(shù)值，進而綜合函數(shù)的基本性質(zhì)來分析與求解.實際上，定義法是解決抽象函數(shù)問題中最常用的技巧方法，求解關鍵在于應抓住函數(shù)的基本性質(zhì)(奇偶性、周期性等)加以邏輯推理，結合相關定義加以分析與判斷性質(zhì)類型，這為進一步的求值與應用提供條件.

評析：以上解法主要是根據(jù)抽象函數(shù)圖象的對稱性，以及給定的關系式，確定函數(shù)的奇偶性，并在此基礎上合理構建特殊的滿足條件的三角函數(shù)，借助特殊函數(shù)求值來分析與解決.實際上，抽象函數(shù)的難點就在于“抽象”二字，如果能化抽象為具體，那么問題就能迎刃而解.而在基本初等函數(shù)中，相應圖象既有對稱軸，又有對稱中心的是三角函數(shù).巧妙合理構造出滿足條件的特殊函數(shù)是角法中的關鍵.

3.鏈接高考

近年高考試卷中都有此類抽象函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應用問題，形式各樣，變化多端.但是都能找到抽象函數(shù)的“影子”.

A.-3 B.-2 C.0 D.1

例2 已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，g(2)=4，則f(2023)=( ).

A.-1 B.-2 C.-3 D.1

解析：易得函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2023)=f(505×3+3)=f(3)=-1，故選A.

A.-2022 B.-2023 C.-2024 D.-2025

4.教學啟示

(1)重視函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象能更好的理解函數(shù)的變化，函數(shù)的對稱性最突出的作用是“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)主要體現(xiàn)在以下方面：可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值；在作圖時可作出函數(shù)的一側圖象，再利用對稱性得到另一側的圖象；極值點關于對稱軸(或?qū)ΨQ中心)對稱；在軸對稱函數(shù)中，關于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同；等等.

(2)用好函數(shù)的對稱性

一般地，涉及函數(shù)圖象的對稱性問題都與以下兩種等價性質(zhì)相關：

(3)巧用函數(shù)的周期性