對(duì)含有ex的函數(shù)綜合題的解法探究

山東省臨沂第四中學(xué) (276000) 李秀萍 梁乾培

含有ex函數(shù)的綜合試題在高考中出現(xiàn)的頻率高，解法靈活，思維含量高，能夠很好的區(qū)分考生的理性思維品質(zhì)，而理性思維又是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂.甄別不同層次考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，依托關(guān)鍵知識(shí)和核心概念命題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，是高考命題的追求.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就要通過(guò)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和水平，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提，掌握數(shù)學(xué)就意味著解題.本文從四個(gè)角度對(duì)解含有ex函數(shù)綜合題為例，進(jìn)行嘗試.

1.對(duì)ex放縮

例1 (2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

①當(dāng)x=0時(shí)，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意.

2.給ex找“朋友”

例2 (2018年全國(guó)卷Ⅰ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

方法點(diǎn)睛：通過(guò)改變函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)，將參數(shù)a分離，把ex與其它函數(shù)結(jié)合在一起，求導(dǎo)后，導(dǎo)數(shù)仍然是ex與一個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式，這樣導(dǎo)數(shù)的符號(hào)取決于多項(xiàng)式的符號(hào)，故只需要研究其他函數(shù)的符號(hào)即可確定函數(shù)的單調(diào)性，從而，確定函數(shù)的最值(極值)，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例3 已知函數(shù)f(x) =aex+ sinx+x,x∈[0,π].當(dāng)-2

方法點(diǎn)睛：通過(guò)給ex找朋友，把ex與三角函數(shù)結(jié)合，求導(dǎo)后，ex對(duì)于導(dǎo)數(shù)符號(hào)沒(méi)有影響，只需要考慮不含ex的三角函數(shù)的符號(hào)就可以確定函數(shù)的單調(diào)性，否則，ex與三角函數(shù)混在一起，要多次求導(dǎo)，并且要考慮隱零點(diǎn)的方法，麻煩的多.

3.對(duì)ex構(gòu)造同構(gòu)式

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式.如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而與函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系，使得問(wèn)題得到解決.

(Ⅰ)判斷f(x)在(0,+∞)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若x>0,證明:(ex-1)ln(x+1)>x2.

解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).(過(guò)程略)

例5 (2020年全國(guó)卷(山東)第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

方法點(diǎn)睛：函數(shù)f(x)中含有l(wèi)na，為了湊出同構(gòu)式，可將aex-1轉(zhuǎn)化為elna+x-1，即函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)=elna+x-1-lnx+lna，而要進(jìn)行同構(gòu)，往往f(x)有偶數(shù)項(xiàng)，因此，按照elna+x-1進(jìn)行添項(xiàng)和移項(xiàng)，故f(x)>1等價(jià)于elna+x-1-lnx+lna>1?elna+x-1+(lna+x-1)>lnx+x.從而，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x，利用函數(shù)的單調(diào)性處理.

4.把ex換元，將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)

由于指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算是互逆運(yùn)算，所以可以通過(guò)換元，進(jìn)行指對(duì)互化.其目的是將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，或把隱含的條件顯示出來(lái)，或把條件結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，或化為熟悉的問(wèn)題.在導(dǎo)數(shù)的綜合題中，往往通過(guò)指對(duì)互化來(lái)實(shí)現(xiàn)函數(shù)結(jié)構(gòu)的變換.

例6 (2017年全國(guó)Ⅰ卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

方法點(diǎn)睛：借助換元，將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)，從而改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，把原來(lái)解析式中含有e2x,ex的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二次和一次的代數(shù)式，對(duì)數(shù)的次數(shù)為一次，求導(dǎo)之后，導(dǎo)數(shù)的分子是一個(gè)“類(lèi)二次函數(shù)”，導(dǎo)數(shù)符號(hào)的確定，函數(shù)單調(diào)性的研究，我們輕車(chē)熟路，大大降低解題的難度.

通過(guò)上面的幾個(gè)例題，我們可以感受到在解決含有ex函數(shù)綜合題時(shí)，要抓住函數(shù)的本質(zhì)，考慮切線(xiàn)放縮(泰勒展式放縮)；改變函數(shù)的表述形式，將ex與其它的多項(xiàng)式函數(shù)結(jié)合，或構(gòu)造同構(gòu)式；或?qū)⒅笖?shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)，化生為熟，化繁為簡(jiǎn).含有ex函數(shù)綜合題解題的思路廣、方法靈活、思維含量高，但是，我們要遵循邏輯規(guī)律、尋求通性通法，突出變換函數(shù)，落實(shí)、體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，對(duì)于形成優(yōu)良思維品質(zhì)、開(kāi)闊解題視野有重要意義.