“統計模型”視角下的高中建模活動教學

【摘要】數學建模的教育價值已被國際數學教育界廣泛認可，各國課程標準都將其列為重要教育目標之一.從數學建模過程來看，其主要包括在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.只有通過組織學生參加數學建模的實踐和活動，使他們親自動手實踐，體驗通過數學建模將數學應用于現實生活的全過程，才能有效地提高他們解決現實問題的能力，增強他們利用數學解決現實問題的意識和信念，學到數學建模的方法，從心底里重視數學建模、熱愛數學建模.

【關鍵詞】統計模型;數據分析;GeoGebra

高中數學課標建議，在必修課程部分將6個課時用于數學建模教學.數學建模的學習與訓練，主要不是靠知識的灌輸，而是靠深入的感悟與體驗.本文選自《普通高中教科書數學選擇性必修第三冊》數學建模活動中的第1課時“建立統計模型進行預測”.教學內容主要是運用一元（或多元）線性回歸分析的方法，建立回歸模型，分析PM2.5濃度與汽車流量（或影響PM2.5濃度的其他因素）之間的關系，并進行預測.

1 教學內容解析

建立一元線性回歸模型的基本原理是成對樣本數據的相關性分析，通過對散點圖的直觀觀察，可以大致確定變量間是否存在線性關系，通過樣本相關系數可以分析線性關系的強弱.在此基礎上建立一元線性回歸模型，用最小二乘法估計線性回歸模型中的參數，得到經驗回歸方程，并利用殘差及利用殘差構建的指標對模型進行評價和改進，使模型不斷完善.最后根據模型進行預測，幫助決策.

“建立統計模型進行預測”作為一元線性回歸模型的具體應用，是學生開展數學建模活動的良好素材，學生可以利用所學知識開展數學建模活動.自己動手完成建模活動，有助于學生理解并感受建模的應用性，體會學習數學的快樂.

將現實問題抽象成數學問題，是建模活動的基礎，也是數學應用性的體現.數學建模要求學生從數學的視角對實際問題進行背景分析，將實際問題進行必要的抽象和簡化，抓住問題的主要方面形成數學問題.在收集數據的同時，促使學生在接觸數據并產生聯想，在頭腦中行成可比統計化情境，進而提煉出與問題相適應的統計問題，在本質上就是培養學生用統計眼光觀察世界.

教學重點 （1）運用一元（或多元）線性回歸分析的方法，建立回歸模型，分析PM2.5濃度與汽車流量（或影響PM2.5濃度的其他因素）之間的關系，并進行預測.（2）數學建模活動的四個關鍵環節，數學建模的一般步驟和方法.

突出重點的手段 （1）教師應該加強引導學生通過查閱相關資料或者請教相關學科的專業人士來獲得與問題背景有關的知識，分析可能影響PM2.5濃度的因素有哪些，分析各種可能因素是如何影響PM2.5濃度的，以及各種因素之間互相影響的情況，進而區分哪些是主要因素，哪些是次要因素，在此基礎上再對PM2.5濃度與各種影響因素之間的關系進行定量刻畫.在考察其他因素對PM2.5濃度的影響，就要以PM2.5濃度為因變量，而自變量則是可能與因變量有關的那些變量，如汽車流量、氣候狀況等.（2）在教學過程中，教師應當幫助學生明晰數學建模的一般過程，數學建模過程主要包括：發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.

2 教學目標設置

結合教學實際，將本節課的教學目標確定為：（1）掌握數學建模的一般步驟和過程;（2）利用一元（或多元）線性回歸分析的方法，建立回歸模型，分析PM2.5濃度與汽車流量（或影響PM2.5濃度的其他因素）之間的關系，并進行預測;（3）學會使用簡單的信息技術工具.

3 學生學情分析

在本節課學習之前，學生通過“成對數據的統計相關性”的學習，已經掌握通過散點圖直觀判斷成對樣本數據之間相關關系的方法，會用樣本相關系數判斷成對樣本數據線性相關性的強弱，也初步了解了用樣本估計總體的方法，了解了一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘法原理，但學生還沒有經歷獨立建立數學模型解決問題的過程，有濃厚的探究興趣，這為本節課的教學奠定了很好的探究基礎.目前學生只是經過老師的講解，了解數學建模的含義，而沒有獨立進行過數學模型的建立，對于將實際問題抽象成數學問題的能力有所欠缺，沒有掌握數學建模的一般過程和方法，對統計軟件的運用略有生疏.

教學難點：

（1）將實際問題抽象成數學問題;

（2）數學建模的一般步驟和方法;

（3）使用統計軟件進行數據處理.

突破難點的策略 （1）了解與問題有關的背景知識可以激發學生的興趣，進而產生探究問題的動力.本節課的教學需要教師加強引導，引導學生提出需要研究的具體問題，完成將實際問題抽象成數學問題的過程.從背景中提煉統計問題，具體就是要根據問題背景分析，確定研究的目標，并將目標的達成分解成若干具體的步驟，在每一個步驟中解決一個具體的問題，讓學生從具體的問題體會數學思維方法.

4 教學策略分析

4.1 突出數學建模活動的操作性和過程性

要引導學生對實際問題進行簡化，抓住問題的主要方面，厘清變量之間的關系，嘗試用數學符號語言表達數學規律，逐步建立較完善的數學模型.要積極營造課題研究的氛圍，加強數學論文寫作的指導，采取相關措施促使學生參與到數學建模活動的全過程中，從實際操作中體會數學模型解決現實問題的應用過程.

4.2 關注數學建模活動的自主性和合作性

在數學建模活動教學過程中，可以采取小組合作學習的教學組織模式，可以將全班同學分成6至8人的小組，由學生自行協商小組組內分工.在分組完成后，采取自主、合作、探究的學習方式，依據本小組的建模規劃，開展合作研究，完成建模活動.

5 教學過程設計

5.1 小組分享，背景分析

問題1 請同學們進行小組分享，討論影響PM.5的濃度的因素有哪些？

預設 本節課開始前，已將學生進行6到8人分組，同時已布置相關預習作業，學生已經在課外查閱相關資料和咨詢有關專業人士，了解到相關背景知識.

師生活動 “背景分析”，影響PM2.5濃度的因素有哪些，學生通過分享可以得到汽車流量、氣候狀況、工業企業排放等影響因素;

設計意圖 通過分享與課題有關的背景知識，激發學生的探究熱情，同時明確數學建模的第一步即為背景分析.

問題2 影響PM2.5濃度的因素有很多，有哪些是主要因素，有哪些次要因素呢，我們能不能針對汽車流量這個因素進行定量分析呢？

預設 同學們經過小組分享，可以得出汽車流量是影響PM2.5的主要因素.

5.2 分析問題，構建模型

問題3 如果我們想對汽車流量如何影響PM2.5濃度進行探究，我們應該怎么去完成探究呢.

請同學們思考一下問題： PM2.5濃度與汽車流量之間是否存在線性相關關系？如何來推斷？

預設 同時學生通過成對數據的統計相關性的學習，具有判斷變量之間是否存在線性關系的基礎.學生通過繪制散點，可以猜想到汽車流量與PM2.5的濃度之間存在線性相關關系.

師生活動 教師利用Geogebra軟件以汽車流量為自變量，以PM2.5濃度為因變量，繪制樣本數據的散點圖進行演示.

設計意圖 通過繪制散點圖，讓學生對汽車流量與PM2.5的濃度之間是否存在線性關系進行猜想.同時體會到信息技術在數學建模活動中的重要作用.

問題4 如果PM2.5濃度與汽車流量之間存在線性相關關系，如何建立線性回歸方程來刻畫這種關系？

預設 學生通過對一元線性回歸模型的學習，可以知道一元線性回歸模型建立的基礎是利用樣本相關系數來刻畫兩個變量線性相關的程度.學生在猜想到使用線性回歸數學模型以后，需要選擇適當的方法進行數學模型的參數求解.由于在一元線性回歸模型的參數求解過程中計算比較復雜，學生將會提出能否使用統計軟件Geogebra進行參數的求解.

師生活動 與畫散點圖步驟相同，要求學生獨立進行數據輸入，教師進行一元線性回歸方程的建立的演示.具體步驟如下：

（1）打開GeoGebra，選擇視圖菜單中的表格區，在A列輸入自變量汽車流量的數據，在B列輸入對應的PM2.5濃度的數據.

（2）在表格區按shift鍵，分別點擊A，B兩列的表頭，選中兩列數據后，選擇操作菜單中的“雙變量回歸分析”，點擊分析后，得到成對數據散點圖，在回歸模型中選擇“線性”得到線性回歸方程.同時可以在菜單選項中查找精確度選項，來調整回歸方程系數的精確度.

設計意圖 中學生的數學建模能力有限，由教師進行演示建模過程，可以讓學生熟悉建模的一般步驟和流程.同時經過實際動手操作，可以發現使用信息技術進行數學模型的求解的方便之處.

問題5 在本節課的學習過程中，你是否對建立數學模型流程有所了解？

師生活動 學生思考、交流.教師引導學生指出本節課堂所經歷的建模過程.

設計意圖 通過本環節，學生交流建模的過程和方法，對本節課的學習有全面、系統的認識，深化學生對函數知識的掌握程度，總結研究方法，積累研究數學問題的方法和過程性經驗.

6 目標檢測設計

利用本節課所學的內容進行平均氣溫如何影響PM2.5濃度的定量研究.

設計意圖 利用與課堂探究的例題屬于同類型的問題，讓學生重溫建立一元線性回歸模型的過程，檢測學生“學會用數學建模的思想解決實際生活中的問題”這一目標的達成情況.

7 課例設計反思

7.1 背景引入

本節課利用學生學過的成對數據的統計相關性和一元線性回歸模型作為基礎，以實際生活中的問題作為素材.PM2.5濃度是與我們生活息息相關的環境問題，容易引起學生的探究興趣.同時，與PM2.5濃度有關的相關因素的背景資料易于獲得，使學生可以從數學的視角對實際情境進行背景分析，對實際情景進行必要的抽象和簡化形成統計問題，促使學生在接觸數據的同時產生聯想，在頭腦中形成問題的可比統計化情境，進而將實際生活中的問題抽象成數學問題.

7.2 背景生成

教學是不斷發展的過程，教師引導學生利用已學的數學知識來解決實際生活當中的問題，通過設置處于學生最近發展區的實際問題，有利于激發學生的探究熱情和興趣，同時通過小組合作、教師引導、自主探究，使學生可以解決相關實際問題.

在教學中明確要求學生結合建立數學模型的過程中學會使用統計軟件，有助于推廣信息技術在數學學習過程的應用，這是綜合提高學生能力的體現.

7.3 背景創新

本節課的教學是教師在學生學習“成對數據的統計相關性”和“一元線性回歸模型”后的實際應用.在教學過程中，教師不再是課堂的權威，而是學生小組合作探究的組織者和幫助者，充分發揮教師主導作用的同時，培養學生小組合作探究的能力，讓學生成為課堂的主人.

最后，在本節課的課堂教學過程中，教師通過教學演示推廣了信息技術在數學建模中的應用，提高學生適應現代化的能力，在充分了解數學建模的同時，意識到統計軟件在數學建模的重要性，這是培養學生學習能力的體現.

參考文獻：

[1]陳晶.數學模型相關概念的厘清與教學思考[J].中學數學教學參考，2018（27）：63-64.

[2]王曉宇.高二學生數學建模素養水平的調查與分析[D].華中師范大學，2018.

[3]常磊，鮑建生.情境視角下的數學核心素養[J].數學教育學報，2017，26（02）：24-28.