從“經驗”到“素養”：數學問題的價值與功能

張文鈺（甘肅省渭源縣路園中學）

“唯一重要的事情就是弄清學生已經知道了什么。”（奧蘇伯爾）建構主義學習理論認為，有效學習的條件之一就是先前經驗，因此離開了經驗知識就無法被建構。對于數學學科而言，經驗同樣重要。作為初中數學教師，無論是基于學生掌握數學知識的需要，還是基于數學學科核心素養培育的需要，都必須高度重視學生經驗的積累，必須高度重視通過活動來豐富學生的經驗。

關于基本活動經驗，通常的觀點是指學生直接或間接經歷了活動過程而獲得的經驗。如果說活動是經驗積累的載體的話，那么怎樣的活動過程才是高效的就值得認真研究。筆者在實踐與研究的過程中得出的認識之一，就是可以通過數學問題的設計，來提高活動過程的有效性，從而幫助學生豐富活動經驗。下面就此問題談談筆者的一些思考。

一、數學問題與活動經驗的關系

從直覺的角度來看，學生的活動經驗與數學問題之間的關系似乎并不是很密切。實際上，數學問題實際上是活動經驗積累的“重要推手”。

其一，活動經驗的積累離不開高效活動的開展。既然是活動經驗，那么活動一定是經驗形成的基礎，而經驗積累則是活動的目標。活動進行得越高效，那么經驗的積累就越高效。

其二，活動高效與否，不僅取決于學生在活動過程中的肢體動作的付出，更取決于學生在活動中的思維付出。思維要想被激活，最好的方法就是用問題去“點燃”。

其三，數學問題、數學活動以及活動經驗的積累之間，形成了環環相扣、逐步遞進的邏輯關系。認識到這一關系的存在，實際上也就是認識到了數學問題之于活動經驗的價值與功能。

通過以上分析可以得出的結論：數學問題提出是數學活動經驗的源泉之一。活動作為問題與經驗之間的橋梁，一方面要借助于問題來驅動活動的開展，另一方面又要通過活動來讓學生形成改進經驗，最終支撐起數學知識的建構。而通過數學問題來激活學生的活動意識進而幫助學生積累經驗，也就成為教學實踐的具體思路。

二、數學問題促成學生活動經驗

以上已經分析了數學問題與數學活動經驗之間的關系，這種關系到了具體的教學實踐中，還需要結合教材的編寫以及學生的學習經驗來綜合實施。有研究者認為可以從情境認知、個體建構與社會互動等更為廣闊的視角，進一步探索與分析“數學活動經驗”的基本特征。實際上，在筆者看來，情境認知取決于對學生原有認知的判斷，個體建構則是數學活動當中學生的思維指向，在這兩者的基礎上，如果能夠在學生認知經驗的基礎上去創設情境，然后通過問題撬動學生的思維，那這樣的學生活動就是高效的，就是能夠幫助學生積累基本活動經驗的。

比如，在人教版初中數學八年級上冊“軸對稱”這一知識的教學中，教材就設計了一個數學活動，其中包括三個內容，分別是美術字與軸對稱、利用軸對稱設計圖案、等腰三角形中相等的線段。分析這樣的教材設計，可以發現美術字是初中學生比較感興趣的內容，研究其與軸對稱的關系，可以豐富學生對軸對稱的感性認識，從而為下一個活動奠定基礎；利用軸對稱設計圖案，本質上是借助于數學知識去構造與生活具有一定關聯的圖形，“設計圖案”的過程必然伴隨著動手畫圖的過程，可以幫助學生積累與軸對稱相關的更多經驗；研究等腰三角形中相等的線段，看起來是一個純粹的數學思維過程，但是由于有了上面兩個活動作為鋪墊，會讓學生積累更多的活動經驗。

具體實施這一活動的時候，教師應巧妙設計問題，并將這三個活動串聯起來，這樣可以更好地發揮促進學生活動經驗積累的作用。針對這三個活動，筆者設計的問題分別為：

“軸對稱在生活當中無處不在，同學們可以將研究的目光指向美術字，看看有哪些美術字表現出軸對稱的特征？”

“軸對稱能夠給人帶來愉悅的觀感，那同學們能否借助于軸對稱知識去設計出讓人感覺賞心悅目的圖案呢？”

“數學中的軸對稱圖案也很多，等腰三角形就是其中之一，借助于軸對稱的知識，能否在等腰三角形當中尋找到更多的等量關系？”

這三個問題分別指向三個活動，同時又是有一定的銜接性。美術字既是一種文化形式，同時又不同于生活中的實際物體，作為凝聚著傳統文化的載體，研究它們的軸對稱特征迅速打開學生的思維空間，讓學生到自己的經驗系統當中去尋找相關的美術字，并判斷是不是軸對稱。

相對于第一個活動而言，第二個活動的動手操作特征更強，在活動的過程中學生的思維也是遞進的，有學生最初是通過感覺去畫軸對稱圖形的，這個時候會出現學生大腦當中的軸對稱圖形是準確的，但是畫出來的圖形并不是完全的軸對稱。于是學生就會想方設法去改變這一問題，于是就想到了對折的方法，這無形當中又強化了對對稱軸的認識；第三個問題則將學生的思維從活動拉回了數學，這一活動實際上具有一定的開放性，因為在等腰三角形當中可以“制造”出很多相等的線段，在尊重學生發散性思維結果的同時，教師應引導學生尋找其中具有代表性的，這樣“底邊中點到兩腰的距離相等”這樣的結論，就可以成為學生活動經驗的重要組成部分。

三、核心素養視角下的問題與經驗

分析上述活動過程可以發現問題起著重要的驅動作用，其不僅打開了學生的思維，同時也讓學生的活動過程更加豐富，于是活動經驗的積累也就提高了層次。

值得一提的是，從核心素養的視角來看問題的提出與經驗的豐富，也會有更多的發現。比如當學生研究的對象是美術字，而思考的問題是軸對稱時，實際上就是在用數學的眼光觀察現實世界；當學生推理得出等腰三角形中相等的線段時，就是在用數學的思維思考現實世界；當學生在經驗積累的過程中形成關于軸對稱的更多認識時，就是在用數學的語言表達現實世界。因此可以發現，問題的提出提高了學生活動的效率，豐富了學生的活動經驗，更成為數學學科核心素養落地的堅實臺階。

因此，在初中數學教學中要高度重視活動的價值，要用問題來驅動學生在活動中的思維發展。尤其是伴隨著數學活動過程的開展，教師還要思考數學學科核心素養如何融合其中。換句話說，核心素養應當成為問題設計與活動經驗積累的引導性力量。當問題、活動、經驗能夠有機銜接在一起，并成為促進學生知識建構與數學學科核心素養落地的動力時，“巧設數學問題、豐富活動經驗”的價值也就更加凸顯了。