合情推理與演繹推理在初中數學教學中的應用探究

摘" 要：經過多年的一線教學實踐，筆者意識到數學推理能力在初中數學學習中的重要性。數學推理是數學學習過程中的重難點，要想培養學生這方面的能力是有一定的難度的。數學推理能力包括兩個方面，合情推理和演繹推理，二者在數學學習應用的過程中是相輔相成的。教育工作者應明確，在數學學習中培養學生的推理能力是十分必要的。

關鍵詞：合情推理;演繹推理;初中數學教學

一、數學中合情推理與演繹推理的含義

合計推理，顧名思義就是合乎情理的，趨向于真實的一種推理。它一方面是根據當下已經展現出來的數學事實和正確的結論進行推理，另一方面是根據個人的數學學習經驗進行推理，比如說做過的數學實驗或者是其他類型的數學實踐，還包括一些通過直觀上的想法而進行的一種推理，主要是借助實驗觀察、歸納類比等方法。

演繹推理是一個從一般到特殊的過程，以一個一般性的前提為基礎，通過具體的推導也就是“演繹”過程，得出具有個別性的結論或者是陳述。演繹推理的形式主要有三種形式，要想熟練地運用演繹推理解決數學問題，首先要做的就是要掌握演繹推理的一般原理和原則，并將其作為思想指導和依據。其次就是要對自己研究的課題或者是要解決的問題有充分的認識和深刻的了解，能夠分清問題的現實性和特殊性，這樣才能夠有把握通過一般性的事實推斷出用于特定事物的結論。

二、合情推理與演繹推理二者的關系

合情推理與演繹推理在數學教學過程中屬于相輔相成的關系，這二者之間并不存在沖突和矛盾。數學公式原理的創造過程與其他學科的知識的形成過程是具有一致性的，都是從無到有的一個過程。在驗證某一數學公式或者定理之前，都會對其進行一定的猜測，然后再在一定的思路引導下進行推理驗證，這個過程需要一次次的推理嘗試。整個過程是一個論證推理的過程，但前提是得有一個合情的推理。因此這二者是相輔相成的。在數學學習過程中，是無法將二者完全割裂開來的，其是數學學習過程中不能缺少的兩個部分。

三、合情推理與演繹推理在初中數學教學中的應用

隨著數學教育的發展和進步，數學學科的教師和該學科的教研工作者對合情推理和演繹推理在數學學習中的重要性有了進一步的認識。很多數學教師在教學過程中對學生這兩種數學推理能力的培養也進行了不少的嘗試。希望通過不斷的探索嘗試，能夠進一步提升學生利用這兩種推理能力學習的能力，進一步提高初中數學的教學質量。

例如在學習九年級下冊“銳角三角函數”（北師大版），教師完全可以引導學生遵循“知識復習回顧—猜想—論證—實際運用”等學習模式。首先讓學生對課本上給出的例圖進行觀察。課本中給出的例子是生活中常見的場景，是一個梯子靠在墻面上，學生都不會對這個場景陌生。教師先引導學生根據情境設置問題：梯子AB和EF哪個更陡一些？用集中判斷的方法來判斷。然后學生會根據問題進入第二個過程，那就是借助自己的生活經驗進行思考。這個過程就是數學過程中具有普遍性的一種教學模式，無論學習哪一模塊的知識點都可能會用到這個學習過程。在當下的數學教學的教學內容的設計中，也經?？梢砸姷揭龑W生應用合情推理和演繹推理模式學習的影子。例如在銳角三角函數教材設置中，教材的第二部分就是想一想，通過將生活中的場景數學化，以三角形的形式進行代替，要求學生進行猜測。梯子的兩邊分別是AB和BC，然后從斜邊AB上取一點B1，延長垂直于地面，然后交點為C1。例如教材中的例子說“小明想通過測量梯子BC、AC”這兩條邊的比來說明梯子的傾斜角度。而小亮則認為要通過B1C1和AC1的比來算出梯子的傾斜角度，教師可問學生是否同意小亮的看法，提問小明和小亮兩人算的這兩個比值都有什么意義。除此之外，教師還可以要求學生考慮改變B1這個點在梯子上的位置的話，會得出什么樣的結論。計算比值的過程也就是人們所說的第三步論證的過程。經過不斷的驗證計算，可以發現一步步地驗證tan∠A=∠A的對邊∠A的臨邊。當銳角A變化時，tan的數值也會隨之而變化。

例如求特殊角的三角函數值，在初中數學學習過程中，特殊角的學習主要包括30°、45°、60°這三個角，這部分的學習也是完全可以借助演繹推理和合情推理的。學生已經學習過tan∠A的計算方法。在學習sin和cos時自然就會考慮二者是否有相似的地方，是否可以采取相同的方式推理。帶著這樣的想法，學生就會進行下一步驗證推理。首先教師可以讓學生對自己常用的三角板進行觀察，因為三角板正好帶有學生所要學習的特殊角，這就是該部分學習能夠用到的最便利的學習工具。教師可以先帶領學生學習sin30°，讓學生知道這是怎樣來的。然后讓學生通過合情推理和演繹推理的方式來自學sin60°，要求學生和同伴進行交流。同樣的，學習完sin之后，再以同樣的方式讓學生學習cos。在將這三個三角函數學習完成后，要求學生填寫教材中間的統計表格，以表格的形式將這三種三角函數統計下來，方便日后的記憶與回顧。其實知道了一種計算方法，其他的就完全可以采取類推的方式來計算，即使學生在學習過程中忘記了某個三角函數的數值，也完全可以通過自己畫一個三角形然后進行推理的方式得到正確的答案。在這樣的推理學習過程中，學生會體驗到通過推理得出自己想要的答案的那種成就感，這就是很完整的一個思維延伸與開拓的過程。

例如學習二次函數，首先要讓學生了解的就是兩個變量，自變量和因變量。這兩個變量的含義并不難理解，只要學生通過閱讀教材上的導入材料就可以大致明白自變量和因變量的含義。在此基礎上，讓學生繼續根據教材內容的想一想部分進入下一階段的學習。知道了自變量和因變量之后，下一步就要進行二次函數的初步學習，那就是先根據數量關系列出相應的表達式。通過這樣的不斷猜想推理，最終再總結出二次函數的具體概念。最后再要求學生舉出一個生活中的有關二次函數的例子，如果學生能夠做到舉一反三，那么就可以證明學生這部分的知識已經掌握，能夠進行一定程度上的演繹推理和合情推理。

在學習完二次函數的概念后，自然就要更深一步地學習二次函數的圖形和性質。這一部分的學習對演繹推理和合情推理的應用會更多。例如在二次函數y=x2中，y與x的變化而變化的規律是什么？如何能夠更直觀地了解它的性質呢？這就需要借助它們的圖像了。首先，教師可以讓他們對x進行賦值，然后計算出y的值，根據計算出的數值可以讓學生猜測推理一下整函數的圖像是一種怎樣的形式，然后讓學生再根據算出的數值畫出二次函數的圖像，驗證一下自己的推理是否是正確的。畫出圖像之后，教師可以對學生進行提問，是否能描述一下該圖像的形狀呢？該圖像和x軸有交點嗎？如果有，交點坐標是什么呢？借助這些問題來鞏固學生對該部分知識的理解，加深學生對二次函數圖像的印象。后面的學習亦是如此，可以借助畫出的圖像進行演繹推理，比如當xlt;0時是怎樣的，當xgt;0時是怎樣的？當x取到什么值時可以，y的值最小等這些問題。了解了最基礎的二次函數的基本性質，學生就可以根據y=x2的基本性質去推理學習更高難度的二次函數，并將其應用在日常的生活學習過程中。

從以上實例中可以看出，合情推理和演繹推理在實際的學習過程中是無法分開的，也是沒有具體界限的。所以說，在數學的教學過程中要學會將兩種推理方式進行結合，這不僅僅是兩種推理方式自身的特點決定的，也是新課程標準改革的要求，有助于當下學生數學能力的培養和提升。

四、如何提升初中生的合理推理和演繹推理的能力

（一）設置教學情境，為學生創造推理條件

所謂合情推理，它一定不會是毫無根據的胡思亂想，它本身就是建立在一定的數學事實的基礎之上的。設計教學情境本身就是教學過程中，教師為了吸引學生興趣，減輕學生學習難度而采取的一種非常有效且受學生喜愛的教學方式。為了讓學生能夠進行推理，教師可以借助教材內容或者其他的一些情境等為學生創設一個與當下所學內容相關的數學情境，通過設置一定的疑問，引導學生自覺地進行觀察和思考。數學這門學科本身就是需要進行觀察思考才能深入的學科。觀察本身就是學生了解數學世界的一個窗口。學生在觀察的過程中，是需要調動多個感官參與其中的，在原有的知識基礎上產生各種各樣的想象。通過觀察之后進行聯想，可以幫助學生減少學習過程中的盲目性，讓學習變得更加高效，更加有針對性。學生的觀察能力對其自身發展是十分重要的，無論是數學學科抑或是其他學科的學習。因此，教師要想提高學生演繹推理和合情推理的能力，就要多給學生創造觀察的機會。借助教學情境的烘托作用，引導學生帶著因為進行觀察推理，養成良好的思考習慣，從而提高學生合情推理的能力。例如通過y=x2的圖像觀察，學生大致可以知道y=2x2，y=3x2，y=4x2這幾個二次函數的圖像大致是什么形狀。

（二）借助實驗，發散學生思維

在數學的學習過程中，很多定理的最終形成都是通過無數次的實驗驗證才確定的。在數學的教學過程中，能夠良好地借助數學實驗進行數學教學也是初中數學教師應該掌握的教學本領之一。數學實驗是一個探索未知的過程，它可以激發學生的求知欲，吸引學生的興趣和注意力。這是一種比較“活躍”的學習方式，也是有利于提高教學效率的一種教學方式。其實，數學的定理應用對學生來說并不算困難，難點在于學生對定理公式的理解，學生本身并不知道這些公式是怎么演變出來的。數學實驗恰好可以承擔這部分的內容，通過一步步的實驗過程，將公式定理的形成過程展現在學生的面前，讓學生真正理解公式的每一步所代表的具體含義。從這點上來看，數學實驗對學生的推理能力以及數學思維的提升有著不可替代的作用。

（三）設計教學問題，引導學生進行猜想

有了疑問，學生才能有進行推理的基礎和動力。數學學習過程中的猜想就是數學學習過程中對疑難問題的合情推理，這也是進行數學證明的一個前提。只有有了數學問題的存在，才能讓學生的內心有解決問題的興趣，從而帶動學生的創新思維，在后續的學習過程中發現更多的問題、解決問題。數學的猜想過程是站在已有的知識儲量的基礎之上，對未知領域知識的一種判斷，如果這個判斷能夠繼續被證明是正確的話，那么它就會成為我們所學習的數學定理。在初中數學學習過程中接觸到的數學理論，有很多一開始都是從大膽猜想開始的，可以說沒有猜想，就不會有現實的發現。初中階段學生學習過程中碰到的大多數學命題和數學理論等都是經過這樣的過程才形成的。經過這樣的猜想，不僅僅可以幫助學生拓展數學思維，讓學生在遇到問題時能夠從更多的角度進行思考，想到原來想不到的問題，也可以幫助學生更加深刻且牢固地掌握需要掌握的數學知識，對學生的記憶能力提升也是非常有幫助的。教師在設計問題時要注意問題的深度，盡量避免給學生設計一些簡單的題目。題目要有一定的思考性，比如可以設計有兩種解決方法的題目、具有迷惑性、學生容易出錯的題目。這樣學生在思考問題、得出答案之后才會更加有成就感，這對數學教學課堂的教學質量和教學效率也有很大的幫助。

合情推理與演繹推理在初中數學學習過程中是至關重要的。提升學生這兩種的推理能力可以幫助學生更深度地開發數學思維，提高學生的思考能力和創新能力。對教師來說，這兩種推理能力在教學課堂中的應用，可以讓數學課堂的教學變得更加順利，學習過程更加輕松，學生的注意力會更加的集中。初中數學教師可以通過設置教學情境、借助數學實驗、設計數學問題等三個角度來提升學生的合力推理和演繹推理的能力，進一步幫助學生提升數學能力。

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（責任編輯：秦" 雷）