基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計

摘要：CPFS結(jié)構(gòu)是由概念域、概念系、命題域、命題系四個單元組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).構(gòu)建良好的CPFS結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生整合數(shù)學(xué)知識，形成完善的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).本文中基于CPFS結(jié)構(gòu)理論對“兩角差的余弦公式”進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計，可以幫助學(xué)生形成良好的三角函數(shù)命題域與命題系.

關(guān)鍵詞：CPFS結(jié)構(gòu)理論；兩角差的余弦公式；教學(xué)設(shè)計

1 理論基礎(chǔ)

1.1 CPFS結(jié)構(gòu)理論

2002年南京師范大學(xué)喻平教授在綜合分析認(rèn)知心理學(xué)家對知識表征的一般研究基礎(chǔ)上，引入了概念域、概念系、命題域、命題系四個概念，并將其復(fù)合結(jié)構(gòu)稱為CPFS結(jié)構(gòu).

一個數(shù)學(xué)概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域.由數(shù)學(xué)概念與概念之間存在的特定的數(shù)學(xué)關(guān)系在個體頭腦中形成的概念網(wǎng)絡(luò)就是概念系.與一個命題等價的命題集的圖式叫做這個命題的命題域.在一個命題集中，任意一個命題都至少與其他某一個命題有“推出”關(guān)系，就稱這個命題集的圖式為一個命題系.

CPFS結(jié)構(gòu)揭示了概念、命題之間的聯(lián)系，形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)有助于加強學(xué)生對知識的理解、知識遷移、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展等.

1.2 CPFS結(jié)構(gòu)理論下的兩角差的余弦公式

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，且與許多知識都有著密切的關(guān)聯(lián).由于三角函數(shù)命題系中大部分命題的推導(dǎo)都源于兩角差的余弦公式，因此建立良好的兩角差的余弦公式CPFS結(jié)構(gòu)對學(xué)生形成三角恒等變換命題系有很大影響［1］.

本研究將基于CPFS結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行“兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生建立三角恒等變換公式的知識生長點，進(jìn)而構(gòu)建良好的三角函數(shù)知識結(jié)構(gòu)（如圖1所示）.

2 教學(xué)設(shè)計

2.1 教材分析

兩角差的余弦公式是學(xué)生在學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式與掌握單位圓工具的基礎(chǔ)上，利用數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等思想方法獲得的.如圖2，三角恒等變換與誘導(dǎo)公式具有廣義抽象關(guān)系，對差角余弦公式進(jìn)行強抽象可獲得部分誘導(dǎo)公式，掌握差角的余弦公式可以為后續(xù)三角恒等變換公式作鋪墊，因此兩角差的余弦公式在教材中起著承上啟下的重要作用［2］.

2.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷兩角差的余弦公式的證明過程，知道兩角差的余弦公式的意義；能運用兩角差的余弦公式解決簡單的恒等變換問題.

（2）單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀更好地感悟三角函數(shù)的概念與性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

（3）通過對公式的具體推導(dǎo)與證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

2.3 教學(xué)重難點

教學(xué)重點：推導(dǎo)兩角差的余弦公式；利用兩角差的余弦公式解決一些三角恒等變換問題.

教學(xué)難點：差角余弦公式的推導(dǎo).

2.4 教學(xué)過程

2.4.1 設(shè)置情景，導(dǎo)入新課

問題1 三角函數(shù)這一章我們學(xué)過很多重點內(nèi)容，一起來復(fù)習(xí)幾個誘導(dǎo)公式：

①sinπ+α=;②cosπ-α= ;

③sinπ2+α= ;④cosπ2-α=.

學(xué)生：①-sin α；

②-cos α；

③cos α；

④sin α.

追問1：它們在形式上有哪些共同點呢？等號左側(cè)與等號右側(cè)分別是什么角的三角函數(shù)？

學(xué)生：等號左側(cè)是軸上角與任意角的和或差的三角函數(shù)；等號右側(cè)與任意角三角函數(shù)有關(guān).

追問2：如果把公式一般化處理，將誘導(dǎo)公式中的π和π2換為任意角β，你認(rèn)為任意角α與β的和（或差）的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會有什么關(guān)系？

這節(jié)課先研究，對于任意角α，β，cosα-β=？

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)部分誘導(dǎo)公式，強調(diào)誘導(dǎo)公式與三角恒等變換的廣義抽象關(guān)系，為接下來建構(gòu)三角恒等變換命題系作鋪墊.通過所提問題引出研究對象，激發(fā)學(xué)生興趣，明確研究和差角公式的必要性.

2.4.2 建立聯(lián)系，感知命題

問題2 猜想一下，cosα-β可能等于？

學(xué)生：cos α-cos β.

追問1：它是否成立？請驗證并說明你的結(jié)論.

學(xué)生：不成立.代入特殊值發(fā)現(xiàn)cosπ-π2=0≠cos π-cosπ2=-1.

追問2：我們是否學(xué)過cosα-β的特殊情況？

學(xué)生：誘導(dǎo)公式.例如，cosπ-β=-cos β，cos（α-π）=-cos α，cosπ2-β=sin β，等等.

問題3 觀察上述由強抽象得出的誘導(dǎo)公式，你認(rèn)為cosα-β與這些誘導(dǎo)公式之間具有怎樣的關(guān)系？cosα-β的展開結(jié)果可能與α，β哪些三角函數(shù)有關(guān)？

學(xué)生：特殊到一般的關(guān)系.cosα-β的展開結(jié)果可能與sin α，sin β，cos α，cos β有關(guān).

設(shè)計意圖：基于部分誘導(dǎo)公式與差角的余弦公式之間的抽象關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生得出cosα-β展開后出現(xiàn)的基本項.學(xué)生積累了從具體到抽象的活動經(jīng)驗，運用了特殊到一般的思想方法，鍛煉了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.4.3 深入探究，發(fā)現(xiàn)命題

問題4 回顧一下cosα-β的特殊情況——誘導(dǎo)公式的得出，我們采取了什么方法？

學(xué)生：在單位圓中，利用圓的軸對稱性和中心對稱性得出等量關(guān)系，代入坐標(biāo).

問題5 既然cosα-β是更一般的誘導(dǎo)公式，這節(jié)課我們繼續(xù)利用這個思路.首先，請大家在練習(xí)紙中作出單位圓、任意角與終邊.

學(xué)生作圖時，教師巡視并選擇幾種角的終邊處于不同象限的圖形（如圖3～6），進(jìn)行投影展示，選擇一種（如圖3）畫在黑板上.

問題6 請同學(xué)們觀察，任意角α與β終邊的關(guān)系能怎樣分類？

學(xué)生：終邊可分為重合或不重合.

追問：那怎樣用數(shù)學(xué)語言描述呢？

學(xué)生：終邊不重合時，α≠2kπ+βk∈Z；終邊重合時，α=2kπ+βk∈Z.

問題7 如圖7，先選取第一種情況進(jìn)行驗證，設(shè)x軸非負(fù)半軸、α的終邊、β的終邊與單位圓交點依次記為P1，P2，P3，你能寫出它們的坐標(biāo)嗎？

學(xué)生：P11，0，P2（cos α，sin α），P3（cos β，sin β）.

問題8 觀察cosα-β=cos αcos β+sin α·sin β交點的橫縱坐標(biāo)，要想獲得公式，圖中缺少了哪個重要的量？

學(xué)生：cosα-β.

追問1：如何能出現(xiàn)cosα-β？

學(xué)生：由三角函數(shù)定義，角α-β始邊在x軸非負(fù)半軸時，終邊與單位圓交點橫坐標(biāo)為cosα-β.

追問2：如何讓角α-β的始邊落在x軸非負(fù)半軸，同時角的大小保持不變［3］？

學(xué)生：旋轉(zhuǎn).

打開準(zhǔn)備好的幾何畫板，展示角α-β的旋轉(zhuǎn)過程，記旋轉(zhuǎn)后的α-β終邊與單位圓交于點P4（如圖8）.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在

單位圓中構(gòu)造出公式中的所需內(nèi)容，為應(yīng)用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性作鋪墊.

問題9 如圖8，顯然P4坐標(biāo)為cosα-β，sinα-β，至此我們終于將所需三角函數(shù)值全部找到.回想獲得誘導(dǎo)公式的過程，建立單位圓后，利用圓的軸對稱和中心對稱性尋找等量關(guān)系.對于更為一般的cosα-β公式，我們可以利用圓更為一般的對稱性是什么？

學(xué)生：圓的旋轉(zhuǎn)對稱性.

追問：根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？

學(xué)生：∠P2OP3=∠P1OP4，P2P3=|P1P4|， P2P3=P1P4.

問題10：哪種等量關(guān)系便于代入坐標(biāo)計算？怎樣計算？

學(xué)生：P2P3=P1P4，利用兩點間距離公式.

設(shè)計意圖：利用單位圓的幾何直觀形成數(shù)與形的聯(lián)系，通過幾何畫板展示數(shù)學(xué)問題的直觀模型，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，啟發(fā)學(xué)生獲得公式的方法，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

問題11 利用等量關(guān)系P2P3=P1P4，結(jié)合兩點間距離公式，你能否完成公式的證明？

學(xué)生計算過程中，教師巡視，將學(xué)生寫的證明過程利用投影展示出來.

問題12 至此我們的公式是否完整？不完整的話，缺少什么？

學(xué)生：不完整，缺少對α=2kπ+β，k∈Z情況的證明.

追問：那請大家繼續(xù)完成公式的證明.

驗證后發(fā)現(xiàn)：對于任意角α，β，有cosα-β=cos αcos β+sin αsin β.稱為差角的余弦公式，簡記為Cα-β.

設(shè)計意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生以已獲得的相關(guān)的誘導(dǎo)公式為邏輯依據(jù)，將差角的余弦公式納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的三角恒等變換命題系.在命題獲得過程中，讓學(xué)生積累運算經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生運算能力，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.

2.4.4 命題應(yīng)用，鞏固練習(xí)

練習(xí)1 利用公式Cα-β證明：

（1）cosπ2-α=sin α ；

（2）cosπ-α=-cos α.

練習(xí)2 已知sin α=45，α∈π2，π，cos β=-513，β是第三象限角，求cosα-β的值.

設(shè)計意圖：層層遞進(jìn)訓(xùn)練，加深學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用.應(yīng)用新獲得的差角的余弦公式命題，使學(xué)生逐步形成穩(wěn)固的命題域和命題系.

2.4.5 課堂小結(jié)，回味公式

結(jié)合學(xué)習(xí)過程，舉例說明你學(xué)習(xí)了哪些知識，收獲哪些思想方法？說說印象最深的是什么？

設(shè)計意圖：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課收獲，加強學(xué)生對所學(xué)知識的印象，鞏固新獲得的命題域，建立誘導(dǎo)公式與三角恒等變換的命題系，培養(yǎng)總結(jié)反思習(xí)慣.

3 總結(jié)

數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷命題的獲得、命題的證明、命題的應(yīng)用三個心理階段.這三個階段可以使學(xué)生通過上下位學(xué)習(xí)、同位學(xué)習(xí)、并列學(xué)習(xí)，逐步形成穩(wěn)固的命題域和命題系，改組、豐富和完善個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這也是數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的高級目標(biāo)和本質(zhì).讓學(xué)生明晰差角的余弦公式與誘導(dǎo)公式的抽象關(guān)系，并經(jīng)過等價變式獲得兩角和的余弦公式，可以使學(xué)生形成良好的三角函數(shù)命題系，幫助學(xué)生減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］黃珂.CPFS結(jié)構(gòu)理論下的“正弦定理”教學(xué)設(shè)計［J］.喀什大學(xué)學(xué)報，2020（3）：92-95.

［2］王文茜.基于CPFS結(jié)構(gòu)的三角函數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計研究［D］.大連：遼寧師范大學(xué)，2021.

［3］王偉，張慶炎.課例：“兩角差的余弦公式”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（16）：20-21，26.