創(chuàng)新設(shè)置,內(nèi)容解讀,目標(biāo)定位,方法建議

單元教學(xué)是新課程改革與創(chuàng)新的一個(gè)主要場(chǎng)所.在實(shí)際教學(xué)中，必須以教材為基礎(chǔ)，形成數(shù)學(xué)基本知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的合理融合，進(jìn)行整體性與應(yīng)用性的創(chuàng)新設(shè)置，盡量避免碎片化教學(xué)與學(xué)習(xí)，同時(shí)結(jié)合單元知識(shí)的基本脈絡(luò)以及對(duì)應(yīng)的單元知識(shí)進(jìn)行合理的內(nèi)容解讀，利用教學(xué)進(jìn)行目標(biāo)定位，合理滲透，巧妙設(shè)計(jì)，并在實(shí)際教學(xué)中提供一些合理的方法建議，更好地服務(wù)于實(shí)際教學(xué).

《平面向量及其應(yīng)用》是人民教育出版社出版發(fā)行的普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）（2019年6月第1版）的第六章，下面就其單元教學(xué)方面的幾點(diǎn)總體設(shè)想加以展開與拓展.

1 創(chuàng)新設(shè)置

“平面向量及其應(yīng)用”主要由原來教材的“平面向量”與“解三角形”兩個(gè)部分綜合而成，極具創(chuàng)新設(shè)置，知識(shí)融合自然巧妙.

1.1 平面向量

向量具有明確的幾何背景和豐富的物理背景，其幾何背景是有向線段，物理背景是力、速度、加速度、位移等.由此自然而然想到可以利用平面向量的相關(guān)知識(shí)與方法來解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、對(duì)應(yīng)的物理問題以及其他的相關(guān)應(yīng)用問題.例如，利用平面向量的知識(shí)與方法可以解決平面內(nèi)兩條直線平行或垂直關(guān)系的判斷，利用向量可以計(jì)算力對(duì)物體做的功等問題，以此提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

1.2 解三角形

三角形是平面幾何中最常見、最重要的圖形之一，對(duì)三角形的邊賦予方向，這些邊就成了平面向量.三角形的邊、角關(guān)系是三角形中最重要的關(guān)系之一，而余弦定理和正弦定理是刻畫三角形邊、角關(guān)系最為重要的兩個(gè)定理，是勾股定理的延續(xù)與拓展，它們?yōu)榻馊切翁峁┝嘶径钪匾墓ぞ?

2 內(nèi)容解讀

2.1 知識(shí)結(jié)構(gòu)

結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求和學(xué)情，把“平面向量及其應(yīng)用”分為四大節(jié)，大致20課時(shí)左右（加1課時(shí)總的復(fù)習(xí)課），具體安排如下.

（1）平面向量的概念：約1課時(shí).

（2）平面向量的運(yùn)算：約8課時(shí).其中，6.2.1向量的加法運(yùn)算約1課時(shí)；6.2.2向量的減法運(yùn)算約1課時(shí)；6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算約2課時(shí)；6.2.4向量的數(shù)量積約3課時(shí)；習(xí)題課約1課時(shí).

（3）平面向量基本定理及坐標(biāo)表示：約5課時(shí).其中，6.3.1平面向量基本定理，6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示約1課時(shí)；6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示和6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示約2課時(shí)；6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示約1課時(shí)；習(xí)題課約1課時(shí).

（4）平面向量的應(yīng)用：約5課時(shí).其中，6.4.1平面幾何中的向量方法和6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例約1課時(shí)；6.4.3余弦定理、正弦定理約2課時(shí)；6.4.3.3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例約1課時(shí)；習(xí)題課約1課時(shí).

上述課時(shí)分配僅供參考，各學(xué)校、各班級(jí)具體教學(xué)時(shí)，教師可以結(jié)合所授課班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)增減課時(shí)數(shù)，主要目的就是達(dá)到加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)、增強(qiáng)向量的實(shí)際應(yīng)用能力等.

2.2 內(nèi)容分析

2.2.1 內(nèi)容本質(zhì)

向量具有明確的平面幾何背景和豐富的物理背景，其幾何背景是有向線段，物理背景是力、速度、加速度等，由此可以利用向量解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問題和物理問題.以此提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).三角形的邊角關(guān)系是三角形中最重要的關(guān)系之一，而正弦定理與余弦定理是破解三角形中的邊與角關(guān)系中最為重要與常用的兩個(gè)基本定理，為了更好地體現(xiàn)向量的價(jià)值，可以借助向量的運(yùn)算去探索三角形邊長(zhǎng)與角度之間的關(guān)系，突出向量在解三角形中的應(yīng)用.

2.2.2 思想方法

蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想，利用向量來解決平面幾何問題和物理問題，其過程中蘊(yùn)含了化歸和方程的思想，在推導(dǎo)正弦定理與余弦定理的過程中體現(xiàn)了從特殊到一般的推理，在正弦定理與余弦定理的應(yīng)用中體現(xiàn)了從一般到特殊的演繹.

2.3 知識(shí)關(guān)聯(lián)

向量的運(yùn)算為解決平面幾何問題和物理問題等提供了依據(jù).初中我們學(xué)習(xí)了三角形中的邊角關(guān)系是“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，定性地研究過三角形邊、角的關(guān)系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判斷三角形全等的方法，給出三角形六個(gè)元素中某些元素，這個(gè)三角形就唯一確定.那么正弦定理與余弦定理就把三角形的邊角之間的關(guān)系由定性研究上升到定量研究.

2.4 教學(xué)重點(diǎn)

用平面向量的相關(guān)知識(shí)與基本方法來解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、物理問題以及其他的實(shí)際應(yīng)用問題的基本方法與常見步驟，用平面向量方法證明余弦定理和正弦定理以及余弦定理和正弦定理的應(yīng)用等.

2.5 教學(xué)難點(diǎn)

把平面幾何的問題、物理問題以及其他的實(shí)際應(yīng)用問題等轉(zhuǎn)化為平面向量的對(duì)應(yīng)問題，余弦定理和正弦定理的證明與實(shí)際應(yīng)用等.

3 目標(biāo)定位

3.1 單元目標(biāo)

（1）會(huì)用平面向量的相關(guān)知識(shí)與基本方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、物理中的力學(xué)等相關(guān)問題以及其他的實(shí)際應(yīng)用問題；體會(huì)平面向量在解決數(shù)學(xué)、其他相關(guān)學(xué)科以及實(shí)際應(yīng)用問題中的作用.

（2）借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系.

（3）掌握余弦定理、正弦定理.

（4）能用余弦定理、正弦定理解決平面幾何問題、相關(guān)物理問題以及一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題等.

3.2 目標(biāo)定位

（1）會(huì)用平面向量的相關(guān)知識(shí)與基本方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、物理中的力學(xué)等相關(guān)問題以及其他的實(shí)際應(yīng)用問題；體會(huì)平面向量在解決數(shù)學(xué)、其他相關(guān)學(xué)科以及實(shí)際應(yīng)用問題中的作用.

（2）理解并掌握解決平面向量問題的兩個(gè)基本方法：基底法和坐標(biāo)法.基底法要注意抓住幾何特征，找準(zhǔn)基底，利用向量運(yùn)算解題；坐標(biāo)法要結(jié)合實(shí)際建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系用坐標(biāo)表示向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.

3.3 目標(biāo)解析

（1）向量作為代數(shù)對(duì)象，它可以運(yùn)算；作為幾何對(duì)象，它可以刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面）.通過向量運(yùn)算可以刻畫幾何元素之間的關(guān)系，如直線的垂直、平行；利用向量的長(zhǎng)度可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何問題，從而可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.平面向量是在物理相關(guān)知識(shí)的背景下建立起來的，來源于物理，物理中的一些量，如位移、力、速度（或加速度）、功等都與平面向量有著密切的聯(lián)系，又可以服務(wù)于物理，利用平面向量的相關(guān)知識(shí)與基本方法來解決一些相關(guān)的物理問題，解釋物理現(xiàn)象，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.

（2）余弦定理除了借助平面幾何中三角形的知識(shí)來證明外，課本中主要以平面向量的數(shù)量積為工具，巧妙將平面向量的模與三角形的邊長(zhǎng)、平面向量的夾角與三角形的內(nèi)角等聯(lián)系起來.同理，正弦定理的推導(dǎo)除了利用向量的數(shù)量積還利用了向量的加法.

（3）正弦定理與余弦定理各自都含有三個(gè)等式或方程，結(jié)合等式或方程的特征，在四個(gè)量的關(guān)系式中，“知三求一”，這是利用正弦定理與余弦定理破解解三角形問題的理論依據(jù).同時(shí)注意三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)對(duì)解三角形的影響，必要時(shí)要進(jìn)行合理的分類討論.

（4）解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，主要是借助三角形的基本性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等來分析與處理，合理構(gòu)建實(shí)際問題與相應(yīng)數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，逐步提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力.

4 方法建議

4.1 問題診斷

用向量法解決平面幾何和物理問題對(duì)學(xué)生來說是比較新的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)它的學(xué)習(xí)充滿了探求的欲望.學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容之前，已熟知了平面幾何知識(shí)，具備了物理知識(shí)，這都為學(xué)習(xí)向量作好了各個(gè)方面的準(zhǔn)備.平面向量既有代數(shù)形式又有幾何意義，如何把向量用到平面幾何或物理問題上，為什么用向量法證明正弦定理、余弦定理更優(yōu)，這都要讓學(xué)生充分操作、體悟、思考、總結(jié)，加強(qiáng)小組合作！

4.2 教學(xué)支持

（1）在本單元的教學(xué)中，借助教師的合理引導(dǎo)，充分培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，通過合理自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、小組合作、團(tuán)隊(duì)交流等學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、概括、創(chuàng)造、應(yīng)用等歷程.平面向量是體現(xiàn)“形”與“數(shù)”融合的重要載體，充分展示數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.

（2）利用信息技術(shù)工具（主要包括幾何畫板等）進(jìn)行動(dòng)態(tài)直觀地演示，讓學(xué)生自己體驗(yàn)線段長(zhǎng)度相等、角度大小的變化等，也可以演示力的合成分解與位移的合成，幫助學(xué)生理解向量的加減運(yùn)算和平面向量的基本定理.還可以利用思維導(dǎo)圖軟件XMind8幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律和解題的通技通法.

（3）利用學(xué)案教學(xué)，合理溝通學(xué)生與教師之間的聯(lián)系，提供教學(xué)的平臺(tái)與學(xué)生練習(xí)的場(chǎng)所，并能作出合理有效的教學(xué)評(píng)價(jià).