高中數學教學中的一題多解

摘要：一題多解教學法在高中數學課堂中有著重要的地位及作用，它能鞏固學生基礎知識，發展學生思維.目前很多教師熱衷于一題多解，但有些教師在使用一題多解教學法時存在一些缺陷.如有的教師追求多解，增加了學生負擔；有的教師羅列多種解法，不分析其中的思想方法；有的教師調控能力不足，對學生引導不夠；等等，本文中將對這些問題加以闡述并提出幾個教學建議.以期對“一題多解”有更進一步的認識.

關鍵詞：高中數學；一題多解；教學問題

在高中階段，課堂時間有限，只有45分鐘，除了要重視概念的講解，還應該充分利用好每一個習題.素質教育下，數學學科以培養學生的綜合能力和發展學生的數學學科核心素養為目標，學生的解題過程是綜合運用核心素養的過程，是培養學生思維的有效途徑.

一題多解從不同角度看待問題，思考問題，從而學生會有不一樣的收獲.因此，一題多解是培養學生核心素養的途徑之一.然而，一題多解需要學生基礎知識扎實，且能夠融會貫通.在解題的時候對題目進行深層次分析，有利于打破學生的思維定式，培養學生的發散性思維，讓學生的思維全面發展.但很多學生對于一題多解還存在一定的難度，這就要依賴于教師引導.所以作為高中數學教師，要對“一題多解”進行深入研究，該如何設計課題讓學生體會到它的魅力所在.

1 一題多解教學的原則

1.1 目的性原則

“教師在使用一題多解時要明確使用目的，不是為了多解而多解”［1］，而是明確多解的目的.故一題多解不是解法越多越好，也不是解法越新奇越好，而是通過此種解法學生能獲得發展，思維能獲得提升.所以，對學生發展無用的解法，教師應該及時舍棄.

1.2 引導性原則

引導性原則是指教師在進行一題多解時，要對學生進行充分地啟發與引導，循序漸進地設計教學問題，引導學生得出答案；而不是把課堂當成一個人的表演，只是一味地按照課件或者教輔去講解.當學生思考新解法有困難時，教師可以提供一種思考方向和解題思路，但教師提供的是一個外部支持，隨著解題的進行，要逐步減少外部支持，將解題任務交給學生，并不是直接告訴學生答案.

1.3 反思性原則

一題多解的目的是鞏固知識、靈活運用知識，所以這就要求學生在解題后要進行反思，反思解題思路、解題過程，并思考下次遇到此類題該怎么做.一題多解教學法是一種變式教學法，一個習題所包含的知識點是不同的，學生課上可能對使用這些定義定理靈活解題理解得沒那么好，通過反思，可以從不同角度理解知識、鞏固知識.

2 一題多解教學中教師可能存在的問題

一題多解在高中數學課堂中的應用越來越廣泛，同時部分教師對于一題多解也出現了一些偏離初心的問題.

2.1 片面追求多解，增加學生負擔

一題多解最主要目的是發展學生的思維，然而有部分教師在課堂教學中只是為了多解而多解，想要讓學生多掌握一種方法，體現數學教育家們所提出的通過“一題多解”發展學生的核心素養，但并未對學生的整體水平做評估，并未考慮學生是否可以接受以及是否超出學生的最近發展區，“毫無目的的教學只會增加學生的負擔，然而對于學生本身能力并沒有提升”［2］.

案例一 2019年全國I卷理科第18題第（2）問

如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， ∠BAD=60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；（注：此問不做詳細介紹）

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值.

解法1：建平面直角坐標系法.

以D為坐標原點，建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，進一步寫出AA1，A1M，A1N，MN的坐標，可通過聯立方程組求出平面A1MA，A1MN的法向量m，n，運用公式就可以求出二面角的正弦值.

解法2：矢量積法.

上述方法相同，在求向量時可以采用矢量積法，則

m=ijk004－13－2=－43，1，0，

n=ijk－10－20－30=－3（2，0，－1），

然后運用公式求出二面角的正弦值.

分析：解法1主要是利用聯立法來求平面的法向量，所運用的方法是學生比較熟悉的；而解法2涉及了大學的知識點，教師需要花費大量時間補充矢量積、矩陣、行列式的有關知識，普通班級的學生聽著費力，又消化不了，可能對自己產生懷疑，從而對數學失去學習興趣，這種“一題多解”就偏離了它的初心.

2.2 羅列多種解法，不分析其中的思想方法

在課堂教學中若對于一道多解題，不分析多解背后的數學思想方法以及每種解法之間的關聯.導致學生只是會解這一道題，當遇到變式題時仍沒有思路.這也偏離了“一題多解”的初心.故教師在備課時，應該問自己：這道題我為什么呈現多種解法？我要達到什么目的？怎么樣做才能達到這種目的？

案例二 高一新授課“基本不等式”例題［3］

已知2x+4y=1（xgt;0，ygt;0），求xy的最小值.

解法1：因為xgt;0，ygt;0，所以2x+4y≥28xy，即1≥28xy，于是xy≥32，當且僅當2x=4y=12，即x=4，y=8時，xy的最小值是32.

解法2：因為2x+4y=1（xgt;0，ygt;0），所以xy=xy（2x+4y）=2y+4x≥28xy，解得xy≥32，當且僅當2x=4y=12，即x=4，y=8時，xy的最小值是32.

解法3：因為2x+4y=1（xgt;0，ygt;0），所以（2x+4y）2=12=4x2+16y2+16xy≥264x2y2+16xy=32xy.當且僅當x=4，y=8時，xy的最小值是32.

分析：解法1是直接利用基本不等式，解法2是利用了“1”的特殊性，解法3是采用了平方法.若教師不作本質的分析，學生可能不久就會遺忘.教師應該引導學生分析其數學思想方法，解法1，2，3都運用了基本不等式，即已知兩個正數的和，求他們乘積的最小值或者已知他們的乘積求和的最大值，其本質都運用了轉化的數學思想方法，一步步把已知轉化成我們所需要的.

2.3 因材施教的措施不足

當一道題有多種解法時，學生的想法可能是多種多樣的，但有的是正確的，有的可能存在錯誤或者有不成熟的地方，所以需要教師分別分析他們的解法，因材施教.但有些教師對于學生錯誤或者不成熟的解法不予評價，忽視掉錯誤想法，這樣學生并不會得到提高.教師應對學生錯誤的地方加以改正，這對學生正確的地方加以表揚.對于有不成熟方法和錯誤方法的學生，引導他們去探索哪些方法正確哪些不正確及理由，但是為了照顧思維活躍的學生，教師可能引導語言不足，導致普通學生一知半解因而教師在一題多解時會存在因材施教的措施不足的問題.

3 一題多解的教學建議

3.1 精選解法，重在讓學生思維得到發展

“一題多解”只是發展學生思維的手段之一，所以教師不能在教學中不顧學生的“最近發展區”而把所有的解都寫出來，這樣對學生的發展是沒有益處的.解法不在于多，而在于精，教師要站在學生角度，替學生考慮這種解法他們是否能夠接受，是否能夠啟發學生思維，學生是否能參與到解題來，以及學生是否能從不同角度來看待問題.但是，什么樣的解法才叫做精選解法呢，我們可以從以下兩點判斷：是否在學生的最近發展區內，學習了這種解法學生能得到怎樣的進步；是否簡捷可以推廣.因此，教師在備課時，應“研究好每個解法的優點與不足，對自己班級的學生有足夠的了解，預想學生是否可以接受這種解法，預想學生的表現，提前設計問題序列”［4］.

案例三 已知x2－y2+x－3y－3=0，求證x2+y2gt;1.

問題1 這道題的特點是什么？

預設：在二元二次方程下去證明二元二次不等式的問題.

問題2 那我們研究數學問題一般從哪個角度入手？

預設：可以從數和形的角度來分析這道題.

追問1：從數的角度該如何研究？

預設：將x2－y2+x－3y－3=0變成x+122－y+322=1，通過觀察想到三角換元，令x+12=sec t，y+32=tan t.

問題3 如何通過切割化弦轉化問題x2+y2.

預設：x2+y2=（cos t－1）2+3（1－2sin tcos t）2cos2t+1gt;1.

設計意圖：這些問題一串可以讓學生明確思考方向，從而找到一般解法，運用了轉化的數學思想方法.

除了三角換元外，你能從形的角度解答此題嗎？考慮學生的認知發展水平對探索后續解法有難度，故不可盲目向學生介紹.

3.2 抓住解題過程，重在分析聯系

教師在講解時，應該著重分析各種解法的依據、區別、聯系、使用條件的優劣、本質，以免出現灌輸知識的情況.教師在講解時，可以通過問題串的形式，一步步引導學生發現不同方法之間的聯系．追問學生用這種解法的依據是什么？有沒有遇到障礙？你怎么解決？通過這個解法你有哪些啟發？每種解法好處在哪里？哪種解法更具有一般性？等等.教師應該引導學生自己去總結，比如，自己哪種解法沒有想到？什么原因沒有想到？你學會了哪幾種解法？他們的本質是什么？體現了哪些數學思想方法？教師在講題過程中，應提煉解法，將學生思維與教師思維進行對比.

3.3 使用不同教學方式，重在因材施教

每種教學方式都有各自的優點和缺點，比如，講授法的優點是能在更少的時間內傳授更多的知識.對于反應速度慢、靈活性差的學困生，在解題時很難獨立做到一題多解，所以對于這部分學生，教師可以在講題時采用講授法，明確講什么？怎么講？在講解的過程中，怎么樣才能讓學生思維得到發展，怎么講解不是灌輸知識點.對于思維敏捷的學生，可以采用合作法、小組討論法，這樣可以給予學生探索、思考的機會，并且教師要允許學生犯錯誤，因為試錯的過程也是解題的過程，教師要通過引導讓學生明確自己錯在哪里，該如何改正.

“一題多解”是培養學生思維的一種手段，教師若引導得當，從教解題到教思維，抓住問題的本質，分析解法的聯系與區別，提高學生課堂參與的程度，那么對學生的發展來說一定是一個質的飛躍.

參考文獻：

［1］徐鑫.通過一題多解培養初中生數學思維能力的實驗研究［D］.上海：上海師范大學，2020.

［2］李現勇.一題多解教學的誤區探討［J］.中學數學教學參考，2017（27）：19-20.

［3］李健.“一題多解”與“多題一解”在高中數學教學中的價值研究與實踐［D］.蘇州蘇州大學，2012.

［4］程華.從“一題多解”審思解題教學的思維培養［J］.數學通報，2020（8）：50-54.