立足學生實際 促進全面提升

1 問題提出

在高三的一次模擬考試中，一道簡單的向量題難倒了一大片學生.題目如下：

例1 在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，則AB·BC=（" ）.

A.－32－1

B.－32+1

C.32－1

D.32+1

大多數教師認為例1簡單，直接由BC=AC－AB就可以得出答案，可視為送分題，然考試結果卻不盡人意，普通班的平均得分僅為1.5分，重點班的平均分也僅有2.4分，為什么會出現這樣的結果？到底是哪個環節出了問題呢？經統計分析，總結了以下幾點.

第一，學生解題習慣單一.由于高三大量的“刷題”，學生形成了一套自己的解題模式，解題時習慣了模仿和套用，然當題設條件出現“不和諧”“不熟悉”信息時卻望而興嘆.本題在求解時，大多數學生想借助余弦定理先求出BC，然后再由AB·BC=ABBCcos（π－B）求得結果，然在實際解題中，學生在求BC時碰壁，解得BC2=2+3，顯然，通過該方法很難求得BC，故解題思路中斷.

第二，部分知識掌握不全面.學生對向量的認識明顯存在不足，學生善于利用向量進行運算，卻對向量的幾何意義理解不到位，致使解題時未能將“BC轉化為AC－AB”，進而求解時走了彎路.

第三，缺乏學情分析.本題結果之所以未能達到預期也暴露出教師對學情掌握不到位，未能根據學情及時進行查缺補漏.眾所周知，教學目標的設定、教學內容的選擇、教學策略的實施都需要以學情為依據，若對學生不了解，教學計劃的實施會因缺乏針對性和落腳點而變得步履維艱.

基于此，若想提升高三數學教學品質，教學中必須立足于學生，以發展學生為目標，拓展學生視野，提升思維品質.

2 解決策略

每個學生都是獨立的個體，其興趣愛好、學習能力、認知水平都存在著明顯的差異，那么要發展學生就要認識學生、尊重學生，培養學生的個性品質.若教學中不關注學生，不重視班級學情，盲目地搞“一刀切”，不僅會挫傷學生學習的積極性，而且容易因教學內容不符合學生實際而浪費寶貴時間，得不償失.為此，在高三備考階段，要提升教學品質，必須深入掌握學情，創設有梯度、有廣度的問題情境.

2.1 精選習題，拓展最近發展區

在解題教學中，教師可依據學生實際選擇一些有意義的題目，引導學生從不同的角度去探究、去發現，進而挖掘出題目的不同側面，以實現“會一題、通一類”的目的.部分師生在高三復習階段往往將難度拉高，習慣于解決一些難題和偏題，那樣容易脫離學生的最近發展區，使部分學生因“夠不著”而影響解題信心.為此，在高三復習階段，要著眼于基礎，以數學習題為載體，立足于學生，科學地研究學生的最近發展區，合理地制定教學目標，著力于“三基”能力的提升，通過適度、適量、適中的練習提升學生的解題能力.

從上面的錯題反饋可以看出，大多數學生在應用向量時，適于“算”而怯于“形”.為此，教師在選題時也應選擇一些側重于應用向量幾何意義的題目，讓學生借助“形”的妙用領悟向量的真正價值.

例2 設非零向量a，b滿足a+b=a－b=2a，若b=2，則向量b在a+b方向上的投影為___________.

顯然，本題若僅依賴于“算”很難求得答案，若將其圖形化，問題則會迎刃而解.教師在題目選擇上遵循學生實際，選擇了一道并不復雜的題目，其目的是引導學生跳出固定思維的束縛，提升思維的靈活性.這樣結合學情的設計，有助于幫忙學生跳出“題海”，使教學更有針對性和目的性，有助于提升教學有效性.

2.2 學會放手，讓學生成為主角

隨著新課改的深入，教學模式也日益多樣化、豐富化，保守的、陳舊的教學模式逐漸退出了歷史的舞臺.“一言堂”教學模式容易挫傷學生學習興趣，降低課堂活力，因而慢慢退出高一、高二的數學舞臺，然高三教學中因部分教師為了擴充課堂知識容量，避免學生走彎路，故在教學中依然延續著“滿堂灌”的講課方式，教師成為數學課堂的主角，課堂上上演著獨角戲.因為缺少學生的參與，教師講得累，課堂效果也差強人意.為此，高三數學課堂依然要堅持以學生為主，讓學生成為課堂的主角.

當然，讓學生成為主角并不是忽視教師的作用，當學生困惑時，當學生誤入歧途時，當學生思維受阻時……都離不開教師恰如其分的點撥和引導，讓教師的經驗和理解轉化為學生學習的動力，最終轉化為學習能力.

例如，在例1講解中，若教師不了解學生出錯的原因就簡單地給出解題過程，學生的疑問并未解決，那么，學生在日后的解題過程中依舊會“一錯再錯”.為此，在教學中，教師要帶領學生一步步分析，厘清問題的來龍去脈，幫助學生“真懂真會”.

師：大家回想一下在解下題時，你們采用了什么方法？（教師PPT展示原題）

在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，則AB·BC=（" ）.

生1：我是想利于余弦定理求出BC，接下來利用AB·BC=ABBCcos（π－B）求解.

師：能聯想到應用向量的內積計算，說明對向量的計算掌握的不錯，那是什么原因未能求解呢？

生1：在求BC時，利用余弦定理求得BC2=2+3，BC不能開方，所以未能進行下面的計算.

師：確實很難直接開方，那么我們能不能平方呢？（教師似乎不經意的提示卻給了學生無限的靈感，很多學生已經開始利用平方的思路進行驗證了.）

生2：（AB·BC）2=AB2BC2cos2（π－B）=BC2cos2（π－B）=（2+3）1+cos 2B2=（2+3）24.因為∠A=150°，所以開方后取負，故AB·BC=－32－1.

該方法雖然不是最優解決方案，但教師還是引導學生克服了難關，充分展現了學生的價值.

師：生1的解題思路是利用向量的運算，即從“數”的角度去思考，是否還有其他解題思路呢？（問題提出后學生積極思考）

生3：向量AB，AC為一組基底，解題時是否可以直接應用“基底法”求解呢？

師：這個思路很好！利用基底法則BC=AC－AB，這樣轉化后問題就變得更簡單了.在解決向量問題時若將“數”與“形”合理結合，往往可以收獲意外驚喜.

師：試想一下，在求BC時，是否可以利用“形”的思路求解呢？即用“解三角形”的思路來求BC呢？

生4：可以應用坐標法.

師：很好！現在請各小組利用坐標法求解BC.（教師給學生時間去動手實踐.）

生5：如圖1，以A為原點，以直線AB為x軸建立直角坐標系xOy，則有A（0，0），B（1，0），C（cos 150°，sin 150°）.

于是BC=（cos 150°－1，sin 150°）=-32-1，12，AB=（1，0）.所以AB·BC=－32－1.

在教師的引導下，學生用第三種解法“坐標法”求得了答案，上述問題求解中順應學生的思路，以學生為主，充分地體現了學生的價值.學生的發展需要空間，而這個空間需要教師細心的營造，因此，教師要發揮好其組織者和引導者的作用，為學生提供適宜智慧生長的空間.

2.3 變式拓展，融會貫通

經過上面細致的引導，學生已經厘清了問題的來龍去脈，也擁有了自己個性化的認識，為了鞏固戰果，在評講后，教師可以通過幾道相關聯的變式題進行引導，以便學生在聯系中掌握通法，在應用中靈動課堂.

例3 已知a·b=0，a+b=ta，若a+b與a－b的夾角是2π3，求t的值.

例4 如圖2，△ABC中，∠A=60°，AC=2，BC邊上的中線AM長為72，求△ABC的面積.

例3為向量題，例4為解三角形的問題，二者看似并無關聯，但卻將例1的知識體系內容展現的淋漓盡致.因為有例1的解題經驗，學生在求解這兩個問題時也顯得得心應手.在解例1時，學生并沒有應用最初的向量計算，而是應用了幾何方法，簡化了運算量，優化了解題策略.在解例4時，學生也一改往日應用余弦定理的策略，而是將其轉化為向量問題，即采用“2AM=AC+AB”求解.就這樣，通過“向量-圖形-數”的相互轉化，提升了解題效率，提高了解題準確率.

總之，在學習的任何階段都要杜絕“強灌”的教學模式，否則即使講得面面俱到，精彩絕倫，然因未立足于學生實際，學生難以將知識內化，無形中僵化了思維，得不償失.