“由內而外”理論下教師角色的改變
——以多邊形的外角和為例

林建華

(福建省長樂第二中學，福建福州，350200)

一線教學中往往存在這樣的現象，教師在教學中傳授不少解題技巧，而且認為自己教得越細致，學生訓練得越多，越有助于形成教學成果；與此同時，學生花大量時間做大量配套訓練，遇到新題型卻常出現“其實知道，只是當時沒想到”的卡殼情況，原因在于學生沒有形成有效的決策機制，只是模式化地進行知識性的學習.從某種程度上說，這樣的教學方式制約了學生數學思維的發展，也與當下的教育教學環境嚴重不適應.教師應該積極轉變角色，不再將學生按照預設的模樣去雕琢，而是要致力于營造學生成長的學習氛圍，提供有營養的學習素材，幫助學生自我建設，發展數學思維、提升數學能力、培養數學核心素養.筆者以探究多邊形的外角和為例，探索教師角色的轉變.

1 教學理論依據

在解釋“學習”的神經生理機制時，傳統的白板理論認為大腦的復雜性是由外而內隨著經驗的增加而增加.在白板理論中，教師的角色是“木匠”.而大腦意識機制的最新研究成果提出了由內而外的理論.經驗并不是大腦復雜性的主要緣由.相反地，學習是大腦通過自組裝，將預先存在的神經元軌跡與外部事件相匹配而發生[1].該理論認為：“感知是一種主動行為而非被動接受，學習也不再主要依賴于經驗的積累，而是大腦活動與外部世界相匹配的過程.[1]”“由內而外”的大腦意識機制與《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱2022年版標準)提出的“學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”[2]的課程理念高度契合，教師的角色不再是“木匠”而是“園丁”.

2 教材內容解讀

人教版數學教材八年級上冊第十一章《三角形》先從小學生已有的認識三角形內角和為180°開始，通過平行線的性質與平角的定義推導出三角形的內角和定理，并且得出推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和.然后再由特殊推廣到一般，探索并證明了多邊形的內角和公式.最后在章末通過一道例題研究六邊形的外角和：利用相鄰內外角互補的關系推導出六邊形的內角和為360°，接著提出：能否將這一結論推廣至所有多邊形.再給出這樣的解釋：從多邊形的一個頂點A出發(如圖1)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉向出發時的方向.在行程中所轉的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°.

圖1

數學大師陳省身曾指出，對于多邊形不應只看內角，還應該看外角.多邊形的內角和隨著多邊形的邊數的變化而變化.而任意多邊形的外角和卻始終是360°，與多邊形的邊數無關，這才是多邊形的本質屬性.那么應如何處理多邊形的外角和這部分教學內容呢？不少教師是安排在多邊形的內角和這一課時，用幾個問題快速帶出結論，這樣的教學處理是認為多邊形的外角和為360°簡單易掌握，好記好用并且相關考點的試題易得分，不必要更不值得花時間深究.其實這樣的處理忽視了多邊形外角和的教學價值.筆者認為教師應根據學情，專門安排一至兩課時來組織多邊形外角和的探索活動.

3 教學活動的實施

3.1 創設情境

【角度史話】角度概念來自美索不達米亞的巴比倫文明.眾所周知，兩河流域誕生了人類諸多文化遺產，角度就是其中之一.巴比倫人擅長天文學，他們制定角度的靈感，就來源于長期的天文觀測.巴比倫人發現：從春分日到秋分日，太陽劃過半個周形成的軌跡，恰好等于180個太陽的直徑，受此啟發，他們定義圓周角為360度，平角為180度.1度就是一個太陽直徑形成的角的度數，角度的符號“°”，最早就是代表太陽.

設計意圖：2022年版標準提出：“抽象能力包括數感、量感、符號意識.[2]”角度史話呈現出古人對角度概念的定義過程，學生可以在如何用數學的眼光觀察一類事物、定義一個幾何對象要完成那些事情(背景——定義——表示——分類)、如何確定分類標準[3]等方面獲得營養，同時為學生研究多邊形的外角和，將各個外角集中成一個整體周角以及圓出于方做了預設.

3.2 探究新知

初步感知

【問題1】在本單元我們已探究發現了三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和以及多邊形的內角和公式后，我們繼續探索多邊形的角的世界，對于多邊形，還有什么元素可以研究呢？

設計意圖：作為教學的組織者，教師應積極創設和諧自然的數學語言環境，搭建數學發現的研究平臺，注重開放性提問方式的使用.村鎮學校的學生家庭語言環境偏于簡單，學生數學語言表達能力明顯單薄，特別需要教師足夠耐心和守候，需要教師給學生用數學語言表達數學發現的空間.筆者自起始年級就開始注重引導學生、鼓勵多形式的合作交流，以激發學生回答問題的熱情.因此在這個環節，學生思考的角度很多，發散性思維活躍、課堂討論比較充分，達到了正向反饋.茲選取有代表性的學生回答如下：

學生甲：還有外角；

學生乙：可是多邊形的外角沒有規律，內角有大有小，外角也有大有??；

學生丙：可是多邊形的內角和有規律啊，三角形的內角和為180°，四邊形的內角和為360°，那可能多邊形的外角和也會增加；

學生?。何抑懒耍噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，比如等邊三角形的內角都為60°，外角都為120°，三個外角和為360°，正方形的每個內角都為90°，四個外角和也是360°，我相信，多邊形的外角和就是360°；

學生丙：丁的例子特殊；

學生?。禾厥獾睦右彩抢?，比沒有舉例好.

3.3 操作發現

【問題2】那么用什么方法找反例？

學生：可以用量角器畫圖，再測量角度計算.

【學生操作】這里我們一起來使用幾何畫板測量并計算多邊形的外角和.

讓學生按照一定的操作流程選取邊數不同的多邊形，使用軟件測量并計算多邊形的外角和.讓所有學生形成強烈的共識：多邊形的外角和無論邊數如何變化，外角和的大小始終不變，是定值360°.

設計意圖：2022年版標準提出：“創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情[2].”幾何畫板是高效的數學研究工具，這一信息技術工具的應用提升了課堂觀測效率，讓學生在更具普遍性的例子中歸納、發現多邊形的外角和定理.同時，學生在觀察、探究過程中形成良好的學習交流氛圍，獲得必要的數學體驗.

3.4 嚴謹證明

【問題3】我們利用幾何畫板軟件發現了多邊形的外角和是360°，你還有什么想對自己說的嗎？

學生表達各自觀點，有學生提出我們要證明.

設計意圖：學生在本節之前對角有一定的推理計算能力，本環節設計的核心依然是教師搭建課堂學生共學共研的平臺，不明示、不塑造，做一位傾聽者、與學生一起成長的陪伴者，讓學生作為課堂教學活動的主體.在此基礎上，進一步鼓勵學生用數學語言描述數學發現，進行數學推理；學生在聆聽同齡人的觀點時，產生自己的理解，激蕩出思維的火花.

筆者所任教的氣質、稟賦不同的兩班村鎮學生以及借班上課的城區優質學校的學生在這一環節亮點頻現，下文是這三個班級相當精彩的證明思路(實際課堂學生表達的內容完整度和先后順序并不相同，他們的典型轉化有借助平行線的性質和周角定義推理或利用相鄰內外角互補來計算三角形的外角和，再類推到多邊形的外角和，或者直接研究多邊形，從構型或從代數計算切入證明多邊形的外角和為360°).

如圖2，利用相鄰的內外角互為補角列關系式，由∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，得∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°.

圖2

或利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內角列關系式，由∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，得∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.

如圖3，過點A作AD∥BC，則∠3=∠4，∠2=∠5，所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠5，即三角形的外角和為一個周角360°.

圖3

實際上，只要通過平移將三角形分散的三個外角頂點集中，就能證明三角形的外角和為一個周角.集中的頂點位置不限，可以在三角形內(如圖4)，也可以在三角形外(如圖5).

圖4

圖5

過程和方法推廣到n邊形.

圖6

方法一：如圖，將多邊形的各個外角通過平移集中到一個點周圍，易得多邊形的外角和為360°.

方法二：N邊形的外角和=n對相鄰的內外角和-n邊形的內角和=n·180°-(n-2)·180°=360°.

3.5 課堂延伸：圓出于方

通過幾何畫板的迭代功能制作正多邊形.演示邊數增加下的動態變化(如圖7)，中國古書《周髀算經》早已揭示圓出于方.

圖7

設計意圖：此素材為本節教學內容的延伸，根據學情靈活選用.借助幾何畫板的動態演示，讓學生充分感知正多邊形隨著邊數的增加無限趨近于圓，自然發現方與圓的聯系.根據平角定義和三角形的內角和可得正多邊形的一個外角大小恰為一個圓心角的度數，從而再次解釋正多邊形的外角和為360°.希爾伯特曾說，數學之道在于找出一個這樣的特例，它包含普遍原則的全部萌芽.多邊形外角和定理的特例是正多邊形，正多邊形與圓的關系滲透類比與極限思想，曲化直的微分內涵.

3.6 總結提升

教師問：回顧整節課，你的收獲是什么？

設計意圖：最后回顧反思環節往往也是學生沉淀升華的重要環節，學生在課堂上充分參與，精神愉悅.通過回顧環節用自己的語言組織表達自己的所思所想，強化教學內容的核心落點.在課后，有學生圍著筆者要繼續操作使用幾何畫板軟件進行觀察、驗證，有學生則繼續討論相關證法.

4 結 語

縱觀整個探究多邊形外角和的教學實施過程，筆者借鑒“由內而外”的大腦意識機制的理論，并沒有把教學環節的重心放在教授知識上，而是以組織者、引導者、合作者的身份力求為學生營造有助于激發學生思維活躍度、參與度的課堂氛圍，讓他們做課堂活動的主人，觀察、思考、表達，使他們內在的思維活動與教學內容互相匹配，在交流互動中實現教學目標.當下，在實際教學中，教師或多或少存在教學焦慮，習慣于將眼光聚焦在解題技巧、解題策略上，忽視學生內生性數學學科素養的挖掘、培養.如何在教學效率、效果、效益三方面追求優化與平衡，我們還是應該積極轉變教學觀念，將教師的角色從塑造者轉變為合作者，讓更多的學生產生良好的心流體驗，激發潛能.