引導學生探索微積分在物理學中的形成過程及應用

黑龍江省嫩江市職業技術教育中心學校 艾立武

高中物理教學中隱含著極其高深的數學知識，那就是微積分的知識。微積分是由牛頓和萊布尼茨各自獨立發現和總結的數學方法。從物理方面來說，微積分意味著經典物理學的真正開端。如果教師在教學中出現畏難情緒，回避微積分的教學，那么就無異于拋棄了物理學的靈魂。從物理學的角度可以說，經典物理學和微積分是同步發展起來的，并且現代物理學離不開微積分。教師必須了解在物理學的發展過程中如何形成了微積分思想和方法，同時，也必須要知道微積分在物理學中是如何應用的。傳統的初等數學雖然在高中物理的應用過程中起到了主要作用，但沒有高等數學尤其是微積分的示范作用，在解決實際問題時總是給人投機取巧的感覺，沒有一個普遍的解決方法。我們的目的是建立普適的解決方法，而不是幾個特例。

一、微積分在物理學中形成過程的教學

教師要按照教材的安排，結合歷史進程講述微積分在物理學中的發展歷程。高中教材第一次接觸到微積分是在引入瞬時速度這一概念的過程中，可以根據不同的角度闡述其內含的微積分思想。如果從初等數學解決這一問題的困境入手，必將涉及“零比零型”求極限的問題?？梢詮男W數學的除法意義講起，解決分母為零的問題和零比零的值。從教學實踐來看，這一探索過程極大地引起了學生的興趣。教師再從物理學的實踐意義引出其值必是確定值，從而強調數學需要引入新的概念和算法，我們稱其為微分。最后，引導學生回憶小學數學中圓周率的算法，讓學生明白微分從來就在我們身邊。高中教材第一次接觸到積分是在求解勻變速直線運動位移的這一問題中。在講述教材中的相應內容時，要知道其實學生是不理解、不認同這一方法的。學生是抱著姑且相信的態度來接受這一結論的，它們認為那是近似相等。教師要打破學生的這種認識，要引導學生承認、接受它們是相等的這一事實。對于這一難題，我先從小學數學的分數、無限循環小數及等式的性質入手，揭示學生從來都不曾知道的秘密，這樣引導學生探索近似和相等是如何緊密。我再從運動學實踐的角度提及芝諾悖論，再次從小學數學的整數與無限循環小數的減法證明近似和相等的親緣關系。首尾呼應，自成體系。我之所以這樣做，不僅是要闡述積分的實際意義，更重要的是要回顧微分的相等和近似，讓學生明白微分的實際意義。這一教學實踐再次證明，學生對其充滿興趣。教師還可以提及牛頓在這一過程中的貢獻，也要提及芝諾悖論所揭示的運動實質意義和恩格斯在他的《自然辯證法》中的結論，進而告訴學生“函數”和“微積分”是數學為了解決運動問題所引入的兩個不同階段的概念和方法。同時，為了公平起見和應用需要，我們也要提及“牛頓—萊布尼茨公式”的應用方法，肯定萊布尼茨在微積分方面的巨大貢獻，肯定數位天才數學家在圓錐曲線及切線方面的創造為微積分的出現吹響了號角，而他們和物理學也是難舍難分的。

二、微積分在高中物理中的實際應用

微積分在高中物理中的應用主要有如下幾個方面：應用導數、微分方程求速度、加速度、動量的值、感應電動勢；應用積分求位移、功、沖量的問題。由于以往的數學教材只講述到導數，有些物理教師就急于講述應用導數來解決諸如求速度或加速度的問題。物理教師注重的是微積分的思想，傳達給學生的也是思想而不是具體的解法。從物理教材的安排來看，教師沒有必要現在就告訴學生如何應用導數來解決實際問題，等到了高三，學生數學知識早已具備，那些問題自然迎刃而解。應用微積分解決實際問題在高中物理上是從積分開始的。有一年高考最后的壓軸題是動量的問題，當然要求力的沖量。那時，數學中并沒有積分的內容，學生如何解決這一問題呢？實際上，這題的解決方法是：建立無限小量物理模型，應用物理原理建立求無限數列的極限和的數學模型，這實際上就是積分的求解過程。因為有著充分的數學基礎，有著鮮明的幾何模型，面對這樣的問題不能質疑它存在的合理性。解決有關速度—時間的圖象問題時，可以建立應用“牛頓—萊布尼茨”公式的過程模式，并引導學生根據微積分的思想和意義明確可以求解任意圖象形狀下的位移，也可以根據幾何面積直接得到“牛頓—萊布尼茨”公式的結論，同時，這也是積分的幾何意義。還可以引導學生明確導數的幾何意義，少量定量、大量定性地解決有關圖象的問題。同樣，在解決有關做功的問題時，更能體會到積分的巨大作用。在彈簧彈力做功問題的探討過程中，應用積分解決問題的建模過程，確立其所代表的物理意義的幾何表述，就可以應用“牛頓—萊布尼茨”公式得到最終結論。在重力做功，尤其是重力發生變化的過程中，雖然可以應用重力勢能來解決問題，但適當引入“牛頓—萊布尼茨”公式時，可以使問題的物理過程明確，雖然不一定需要解出最終答案。當然，到高三時，學生的數學知識已準備充足，就可以應用導數、微分方程和積分公式來解決用初等數學解決過的問題，會發現其在有些方面是直接和快捷的。

三、微積分在物理學中的形成過程及應用到教學中涉及的重要實例

（一）求解勻變速直線運動位移問題中涉及的實例

課程內容中以勻加速直線運動為例引入勻變速直線運動位移的求解過程。在勻變速直線運動的速度—時間圖象中將整個運動分解成若干個連續相等時間內的運動，每個運動可以看作是勻速直線運動。利用勻速直線運動的規律可以知道速度—時間圖象的矩形“面積”是運動的位移。若干個矩形“面積”之和可以粗略地表示整個運動過程的位移。當減少時間間隔即增加連續相等時間內運動的個數時，矩形“面積”之和就可以更精確地代表整個運動的位移。若時間間隔趨近于零，即連續相等時間內運動的個數趨近于無窮，矩形“面積”之和就等于梯形“面積”，即勻變速直線運動速度—時間圖象的“面積”代表整個運動的位移。學生理解這個問題的關鍵是學生認為矩形面積之和只是近似等于梯形的面積，教師需要舉例證實它們是相等的。第一，利用分數、循環小數和等式性質進行證明。第二，利用整數與循環小數相減進行證明。第三，利用芝諾悖論進行證明。

（二）彈簧彈力做功問題

彈簧彈力做功是探索性內容，但高中數學已經能解決這樣的積分問題。在物理教學中我們可以引導學生進行建模過程，利用積分的幾何意義來解決彈簧彈力做功的問題。以彈簧原長為原點，以彈簧伸長的方向為正方向建立坐標系。相關的力和彈簧伸長量和壓縮量的關系是力和伸長量或壓縮量成正比，力和位移的方向相反。當彈簧從原長處伸長到某處時，彈簧彈力做功是力和位移的乘積。我們可以利用求解勻變速直線運動位移的方法來求解彈簧彈力做功的問題。把這一過程看成無數個矩形面積之和等于三角形面積的問題得到求解。同時，我們也可以利用求解在無限小區間內做功，再在某一區間內進行求和來解決問題。最后，仍能歸結到積分的幾何意義上來。具體問題的數學方法如下：第一，矩形面積之和等于三角形面積。根據定積分的幾何意義可知，三角形的“面積”就是力所作的功。第二，積分的數學求解方法。利用微元法確定無限小位移過程中力所做的功，再利用牛頓—萊布尼茨定積分公式確定整個過程中力做的功。

（三）求解感應電動勢的問題

無限長平行金屬導軌水平放置，導體在其上做勻速運動，導軌間接有電阻，導體的電阻忽略不計，已知導軌間距，導體始終垂直導軌運動。存在垂直水平平面向下的磁場，磁場大小隨時間線性變化。求感應電動勢大小。這一問題涉及切割磁場產生感應電動勢和磁場變化產生感應電動勢的問題，利用初等數學來解決是十分復雜的?？梢岳么磐孔兓鸶袘妱觿莸脑瓌t來解決這一問題。具體數學方法如下：根據磁通量的定義求出磁通量的表達式，再根據導數方法求出感應電動勢。當然，若是復雜的表達式可能需要復合函數求導的數學知識，但基本原理相同。

作為物理教師，在課程的深入過程中需要不斷加以總結和提升，從而在教學中引導學生探索微積分在物理學中的形成過程和應用，更好地帶領學生不斷進步。