基于分型布朗運動的股票價格趨勢預測

占大衛

(西安財經大學統計學院 陜西西安 710100)

2020年，黨中央在十九屆五中全會《(中共中央關于制定國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和二○三五年遠景目標的建議》)強調，我國的防范風險工作取得了關鍵進展，“十四五”時期要繼續統籌發展與安全，推動我國經濟發展，風險防范對度過風險至關重要。在國家發展中，防范金融風險是一個巨大的課題，尤其是股票市場的風險表現更為直接明顯，通過研究股價波動既可以看出股市受重大風險的影響程度，又可以預測股價的趨勢。因此，股價波動的預測研究一直是一個熱門話題。由于股市復雜，學者提出很多方法對其進行研究，如有效市場假說理論、分型市場假說理論在股價波動研究中被廣泛應用。

在過去的研究中，有效市場假說不斷完善，逐漸形成了現在的以線性均衡思維和標準計量模型最優解為特征的資本市場理論體系。它對資本市場做的假設如下：對于一些投資比較理性的公民，產品價格反映了該產品的所有信息；價格變動與其他信息無關；未來的價格變化是不可預測的；產品的相對收益率服從隨機游走理論的一些假設，其概率分布為高斯分布或對數高斯分布。總之，理性投資者、有效市場和隨機游走模型描述了理想的資本投資市場，然而近20年來，一些學者發現資本市場存在一些不良現象(如日歷效應、羊群效應、小公司效應等)。人們發現，有效市場假說并不能客觀地解釋現實生活中資本市場的連續性和復雜性。

基于上述背景，學者提出了資本市場分形理論，并建立了分形市場假說(FMH)，有效地彌補了EMH的不足。與EMH相比，FMH是一種基于非線性動力學背景所建立的模型，這種模型能夠更合理地解釋資本市場。其主要思想如下：第一，資本市場由投資者組成，每個投資者有不同的投資偏好和投資期限。第二，價格是短期技術分析和長期基本面分析的結合。因此，短期價格比長期價格波動更大，而長期價格在技術上更具噪音。第三，如果一項資產與經濟周期沒有聯系，它就沒有長期趨勢，其價格變化主要由交易量、流動性和短期信息決定。在對投資者的行為影響因素研究上，FMH理論充分利用市場流露出的信息、流動性和投資期限對投資者行為的影響，提出了一個關于投資者在市場中的投資行為和市場本身價格的模型，這個模型更貼近實際市場情況。布朗運動假設是現代資本市場理論的核心假設，現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機特征。此所謂隨機性指的是數據的無記憶性，即過去的數據不構成對未來數據的預測基礎，同時不會出現驚人的反復相似。

1 分型布朗運動(FBM)

FBM模型(分數布朗運動模型)是由Kolmogorov于1940年在Hilbert空間框架中首次提出；Benoit Mandelbrot and Van Ness于1968年提出的一種無相關性的隨機行走模型，也被稱作分形布朗運動、有偏的隨機游走(Biased Random walk)、分形時間序列(Fractional time serial)、分形維納過程等。其滿足統計自相似性，即具有隨機分形的特征，并且其軌跡處處沒有切線，粒子移動互不相關。該過程具有零均值與相關函數：

式中，H被稱為Hurst指數，其取值范圍為H∈ (0,1)。

該模型的定義如下：

其中，參數H滿足0＜H＜ 1；若t＜ 0，則積分應變為，在上式中，若H=1/2，則該模型就變為普通的布朗運動，即B1/2(t) =B(t)。

Mandekbrort和Van Ness同時引入了分數高斯噪聲模型(FGN)來模擬分數維的隨機噪聲。一個單位分數高斯噪聲可以看作單位分數布朗運動的形式導數，即

其相關函數為

當H=1/2時，自相關函數R(τ) 退化為Dirac函數δ(τ)，即高斯噪聲的自相關函數。

2 實證分析

2.1 基于分型布朗運動的股票價格趨勢預測

在此，本文需要將μ和σ估計出來，令 Δt=T/M，其中T=1，M=240。因此，μ和σ分別表示股票一天的預期收益率及股票一天預期收益率的標準差。由之前的公式我們可進行計算。

本文使用網易財經中公布的股票代碼為000541佛山照明2020年5月6日—2021年5月1日的收盤價格數據來模擬股票價格走勢。通過計算，我們得到μ= 0.0013,σ= 0.0237。

在估計出均值和方差之后，本文要得到一組服從正態分布的隨機數ε，使用計算機軟件對ε～N(0,1)進行隨機抽樣。在模擬過程中，由于需要進行五次蒙特卡洛模擬，所以本文收集整理了100個ε樣本集，并且可以發現隨機抽樣的樣本基本服從標準正態分布，這也符合關于ε服從標準正態分布的假設。

在得到隨機項ε之后，本文以2020年1月2日的佛山照明股票收盤價為初值S0，采用隨機微分方程：

使用上述估計值對FBM模型進行預測，其中Hurst指數從[0，1]范圍內分別以0.1為間隔選取，對其分別進行100次蒙特卡洛模擬，并計算每個Hurst指數對應的預測數據與真實數據的平均標準差，具體結果如表1所示。

由表1可知，當Hurst指數為0.3時，股票價格預測數據與真實數據的標準差最小，所以將Hurst指數的范圍縮小至(0.2，0.3)。在此范圍內，同樣使用蒙特卡洛模擬100次，其對應預測值與真實值的平均標準差如表2所示。

表1 Hurst指數對應預測與真實數據標準差結果

由表2可知，H=0.34時，預測數據與真實數據的標準差最小，則選擇其為本文的預測值。從中隨機選擇一組數據，預測結果如圖1所示。

表2 Hurst指數縮小范圍后調整預測與真實數據標準差結果

圖1中黑色實線的是蒙特卡洛模擬所模擬出來的股票價格，橙色實線是真實股票價格。圖1虛線表示使用蒙特卡羅方法第一次股票價格數據模擬結果，實線表示真實股票價格數據，將蒙特卡洛模擬獨立重復100次，得到的數據均值為5.11，實際股票價格均值為5.93，多次實驗的標準差為0.76，而真實數據的標準差為0.463。通過對兩組數據進行對比分析可以發現，通過FBM模型所預測的股票價格波動符合布朗運動的基本假設。

圖1 H=0.34股票預測價格與真實價格對比

將蒙特卡洛法模擬股票價格數據與真實數據進行相關分析可得結果如表3所示。

表3 蒙特卡洛法模擬價格與真實價格顯著檢驗結果

并且得到其相對應的相關系數R=0.6228，說明該模擬結果能有效說明股票價格的真實走勢。

2.2 正態性檢驗

為了驗證股票價格波動是否嚴格服從分型布朗運動的運動形式，本文對真實股票價格的對數收益率進行正態性檢驗。先對其進行檢驗來驗證其是否服從標準正態分布，在進行Q-Q圖檢驗后，本文得到如圖2所示結果。

圖2 真實股票價格的對數收益率正態性檢驗結果

由圖2可知，實際股票價格的對數收益率基本在對角線上，因此可以認為實際股票價格對數收益率基本符合正態分布。本文再對實際股票價格對數收益率進行描述性統計，得到如表4所示結果。

表4 實際股票價格對數收益率描述性統計結果

由表4可知，偏度值為4.149＞0，說明數據具有右偏的趨勢；峰度為0.648＜3，說明數據比正態分布更加扁平。由此可知，股票價格基本符合正態分布假設。

3 結語

布朗運動作為非線性動力學模型，在股票價格的預測上效果顯著，但其預測結果過于理想化。當整個國家的利率上漲時，股票價格的預計增長率也會有上漲的趨勢。股票價格的相對跳高與引起跳高的重要信息的相對重要性有關，一般來說，相對跳高的大小取決于重要信息的相對重要性。用FBM模型代替GBM模型，可以彌補用GBM模型描述股票價格趨勢過程中的一些不足。

基于上述分析可以發現，實際股票價格的波動形式并不是嚴格服從標準正態分布，所以股票價格并不是完全服從幾何布朗運動，反而更加服從分型布朗運動。本文只基于分型布朗運動模型對股票價格趨勢進行預測分析，相信隨著金融市場研究的深入，會有更加合理的模型來模擬股票價格及其運動趨勢。