巧構(gòu)直線方程 讓函數(shù)不等式放縮有“度”

浙江省安吉縣高級中學(xué)

林蘭蘭

函數(shù)不等式的放縮問題不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，更是近年來各地高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).其思維的獨(dú)特性、解題手段的靈活性、知識內(nèi)容的綜合性等特點(diǎn)，在對形成學(xué)生理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)學(xué)生個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著重要作用，但也使不少學(xué)生望而卻步.筆者選取構(gòu)造直線方程的角度談?wù)勅绾伟盐蘸瘮?shù)不等式放縮的“度”.

1 構(gòu)造垂線放縮

(1)當(dāng)a=0時(shí)，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)≥4x-6恒成立，求a的取值范圍；

(3)設(shè)b∈R，若關(guān)于x的方程f(x)=b-8有實(shí)數(shù)解，求a2+b2的最小值.

解析：(1)(2)略.

點(diǎn)評：本題從a2+b2的結(jié)構(gòu)出發(fā)，聯(lián)想到原點(diǎn)與點(diǎn)(a,b)的距離的平方.點(diǎn)(a,b)的軌跡是什么？從已知條件出發(fā)，構(gòu)造兩條直線方程，巧妙地利用“垂線段最短”，使問題獲解.

2 構(gòu)造切線放縮

例2(2020年高考全國卷Ⅰ第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

解析：(1)略.

①當(dāng)x=0時(shí)，得a∈R.

3 構(gòu)造割線放縮

例3(2021年高考全國卷Ⅰ第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析：(1)略.

對x1進(jìn)行割線放縮：作直線y=x，其與直線y=m交于點(diǎn)(m,m)，而y=m與y=f(x)交于點(diǎn)(x1,m)，于是x1

對x2進(jìn)行切線放縮：作y=f(x)在(e,0)處的切線：y=-x+e，它與直線y=m交于點(diǎn)(e-m,m)，故x2

從而x1+x2

點(diǎn)評：本題以直代曲，抓住函數(shù)在特定范圍內(nèi)區(qū)間端點(diǎn)特征，對x1進(jìn)行割線放縮，對x2進(jìn)行切線放縮，合理把握了放縮的“度”.這種放縮方法，需要充分理解函數(shù)的圖象性質(zhì)，特別是函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性.它不同于常見的放縮手段，讓學(xué)生有耳目一新之感，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展大有幫助.

4 構(gòu)造隱性直線放縮

(1)求f(x)在x∈(0,1]上的最大值；

(2)若g(x)≤0對任意的b∈[a,+∞)及x∈(0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.注：e是自然對數(shù)的底數(shù).

解析：(1)易得f(x)的最大值為f(1)=2.

(2)由于g(x)≤0對任意x∈(0,1]恒成立，故g(1)≤0.而g(1)=-2ab-2a+2b+2=-2(a-1)·(b+1)，且b≥a>0,所以a≥1.

下面證明當(dāng)a≥1時(shí)，恒有g(shù)(x)≤0.

g(x)≤-2abex-1+b(2x-2)-2a+2b+2

=-2abex-1+2bx+2(1-a) ≤

-2abex-1+2bx

=2b(x-aex-1)≤

2b(x-ex-1).

因?yàn)閑x≥x+1(切線放縮)，所以ex-1≥x，因此g(x)≤2b(x-ex-1)≤0.

綜上可得a≥1.

點(diǎn)評：含多個(gè)參數(shù)的不等式恒成立問題，往往先是必要性探路，再論證其充分性.本題對(x+1)lnx的放縮，采用了待定系數(shù)法，借助第(1)問的結(jié)論，構(gòu)造出直線y=2x-2，使問題在不斷的放縮中逐漸柳暗花明.