化難為易過“三關”

文／曹小龍

二次函數內容豐富，難點頗多，綜合性強，令很多同學望而卻步。本文列舉三個方面簡述突破之法。

一、圖像與性質

例1在平面直角坐標系中，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，有下列5個結論：①abc＞0；②2a-b=0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b。其中正確的有（ ）。

圖1

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【分析】由拋物線開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據拋物線對稱性推理判斷。

解：∵圖像開口向下，∴a＜0。

∵對稱軸為直線

∴b=-2a＞0。

∵圖像與y軸的交點在x軸的上方，

∴c＞0。∴abc＜0，①錯誤。

∴2a-b=-2b＜0，所以②錯誤。

由圖像可知點（-1，0）關于x=1的對稱點為（3，0）。

∵當x=-1時，y＜0，

∴當x=3時，y＜0。

∴9a+3b+c＜0，③錯誤。

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0。∴b2＞4ac，④正確。

當x=-1時，y＜0，

∴a-b+c＜0。∴a+c＜b，⑤正確。

∴正確的為④⑤，故選B。

二、模型與應用

例2某商品有線上、線下兩種銷售方式。

線上銷售：單件利潤定為600元時，銷售量為0件，單件利潤每減少1元銷售量增加1件。另需支付其他成本5000元。

線下銷售：單件利潤500元。另需支付其他成本12500元。

注：凈利潤=銷售商品的利潤-其他成本。

（1）線上銷售100件的凈利潤為___元；線下銷售100件的凈利潤為___元；

（2）若銷售量為x件，當0＜x≤600時，比較兩種銷售方式的凈利潤；

（3）現有該商品400件，若線上、線下同時銷售，售完后的最大凈利潤是多少元？此時線上、線下各銷售多少件？

【分析】第（2）問，先分別求出兩種銷售方式的凈利潤的函數表達式，再分三種情況討論，可解方程、不等式；也可作差后根據圖像觀察求解。第（3）問，需建立關聯兩種銷售方式的新函數表達式，再求最值。

解：（1）45000，37500。

（2）設銷售量為x件時，線上銷售的凈利潤為y1元，線下銷售的凈利潤為y2元，線上線下銷售的凈利潤差為w元。則

結合二次函數w=-x2+100x+7500的圖像可知：

當0＜x＜150時，w＞0，即線上銷售的凈利潤大于線下銷售的凈利潤；

當x=150時，w=0，即線上銷售的凈利潤等于線下銷售的凈利潤；

當150＜x≤600時，w＜0，即線上銷售的凈利潤小于線下銷售的凈利潤。

（3）設線上銷售a件時，售完400件商品的凈利潤為m元。則

∵m的函數圖像是拋物線且開口向下，∴當a=50時，m有最大值185000，即當線上銷售50件，線下銷售350件時，最大凈利潤為185000元。

三、含參與綜合

例3已知函數y1=x+1和y2=x2+3x+c（c為常數）。

（1）若兩個函數圖像只有一個公共點，求c的值；

（2）點A在函數y1的圖像上，點B在函數y2的圖像上，A、B兩點的橫坐標都為m。若A、B兩點的距離為3，直接寫出滿足條件的m值的個數及其對應的c的取值范圍。

【分析】（1）聯立方程，通過判別式Δ=0求解。（2）方法一：分別令y1-y2=3，y1-y2=-3，根據關于m的一元二次方程中Δ的取值范圍與c的關系列方程或不等式求解。方法二：由（1）結合圖像的平移，尋找臨界位置，數形結合定范圍。

解：（1）兩個函數圖像只有一個公共點，則方程x2+3x+c=x+1有兩個相等的實數根，∴Δ=0，即22-4（c-1）=0。∴c=2。

（2）如圖2，當c＞5時，0個；當c=5時，1個；當-1＜c＜5時，2個；當c=-1時，3個；當c＜-1時，4個。

圖2

二次函數含參問題中，我們要思考圖像的對稱軸、與x軸交點及經過的定點能否求出，多畫幾個草圖分析臨界位置（如頂點在x軸上時，經過特殊點——原點、定點或其他已知點），觀察圖像變化，確定參數的取值范圍。如a決定形狀、開口大小，a的絕對值越大（小），開口就越小（大）等。