合理整合 凸顯本質

［摘? 要］ 作業除了鞏固知識與技能外，其在發展學生思維能力、提高解決問題能力等方面也發揮著不可估量的作用. 要發揮作業的價值，教師在作業講評時就要改變傳統的“就題論題”，善于挖掘題目背后的本質，讓學生更好地理解數學、掌握數學. 對于作業講評，文章把作業中的錯題設計成了微專題，以此提高作業講評效率，提高作業講評質量，提升學生的數學學習能力.

［關鍵詞］ 作業講評；微專題；講評效率

數學作業是數學教學的重要組成部分，它可以讓教師更好地了解教學，讓學生更好地了解自己. 那么談及數學作業就必須要談作業講評，它在數學教學中是不可或缺的一部分，有效的講評可以幫助學生理清問題的來龍去脈，讓學生真正地理解數學、掌握數學. 在傳統教學中，大多數教師習慣就題評講，將已有經驗通過講授的方式傳給學生，學生根據教師給出的答案對照訂正，這樣雖然能夠讓學生改正錯誤，讓學生積累一些經驗和方法，但是并沒有從根本上解決問題，沒有幫助學生找到真正的錯因，也沒有形成解題策略，學生解題時依然會“一錯再錯”. 為了改變這一現象，筆者在教學中做了許多嘗試，發現若將問題歸類，以基本方法為主線，以微專題的形式進行作業講評，不僅可以幫助學生積累豐富的解題經驗，而且可以讓學生掌握基本的數學方法，有助于提高作業講評效率. 本文以“構造原函數”的作業講評為例，談幾點作業講評實踐與思考.

作業整理

構造原函數在解題中，如在解決函數、不等式、數列等問題中有著重要的應用. 在實際教學中，教師可將分散于各章節中的作業進行整理，為微專題的作業講評提供素材. 以微專題的方式呈現作業講評，既有利于學生對構造原函數這一數學方法的理解，又有利于學生個體認知體系的建構和完善.

例1 已知定義在R上的函數f（x）滿足f（1）=2，f′（x）<1，則不等式f（x2）

例2 已知定義在R上的奇函數f（x），其導函數為f′（x），當x∈（-∞，0］時，恒有xf′（x）

的實數x的取值范圍是________.

例3 已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，且=ax（a>0且a≠1），f′（x）g（x）

例4 定義在0，上的函數f（x），其導函數為f′（x），且恒有f（x）

與f的大小.

例5 設定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足0

以上問題屬于同一類型，解題時都需要根據導函數構造原函數. 對于如何構造原函數一直是教學的重難點，教學中對于此類問題教師重點講解過，但學生每次作業時還是會出現這樣或那樣的錯誤，可見學習中存在“會而不懂”的情況. 基于此，教學中應著眼于整體，整合相似或相關的問題，以微專題的方式進行系統講解，達到“會一題通一類”的效果，切實提高學生解決問題的能力.

微專題講評

若作業講評停留于簡單訂正或直接抄寫答案的階段，學生不可能在講評中得到更多收獲. 在講評前，教師應該對解題過程中存在的問題進行詳細分析，與學生一起找到錯因，從而通過有針對性的指導讓學生“學懂學會”. 根據學生的作業反饋，學生解決此類問題時主要存在以下幾個問題：①審題不清；②目標不明；③構造無形；④求解錯誤. 針對以上問題，筆者沒有“就題論題”進行講解，而是以微專題的方式進行如下講評.

1. 執果索因，學會審題

師：此類題目條件千變萬化，乍看上去條件和結論似乎毫無關聯，因此要從問題出發，認真觀察，仔細分析，一定能夠找到解決問題的突破口. 結合以上問題大家思考一下，此類題目最終要解決的都是什么問題呢？（生深思）

生1：大多是解不等式或比較大小等問題.

師：很好，那么我們大多依賴函數的什么性質來解決以上問題呢？

生齊聲答：函數的單調性.

師：從已知出發，你能直接判斷函數的單調性嗎？

生齊聲答：不能.

師：那么我們該如何判斷呢？

生2：根據函數的導數來判斷.

師：非常好，觀察題目不難發現，它們都含有導函數，如f′（x）<1，xf′（x）

2. 合理轉化，確定目標

師：找到核心條件后，如何利用它們來判斷函數的單調性呢？（生不語）

師：如何判斷函數f（x）的單調性呢？

生3：令f′（x）>0（f′（x）<0），求得的區間即函數f（x）的單調遞增（遞減）區間.

師：說得很好，根據導函數的正負判斷原函數的單調性. 判斷導函數的正負時與何值作比較呢？

生齊聲答：0.

師：那么想使不等式的右邊為0，我們應該如何操作呢？

生齊聲答：移項.

師：很好，對于如上條件，我們移項后可得f′（x）-1<0，xf′（x）-f（-x）<0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0，等等. 在解題中，當目標不明確時，要根據已知條件進行適當轉化.

3. 追蹤溯源，構造模型

師：移項后，左邊我們可以看作什么？

生4：可以看作某一個函數的導數.

師：接下來我們要做什么呢？

生5：將這個導函數還原，得到它的原函數.

師：非常好，這個還原的過程就是解題的重點，也是解題的難點. 之前我們利用導函數判斷函數單調性時，都是由原函數求導函數，而此類題目卻恰恰相反，要根據導函數構造原函數，有一定難度. 結合以上題目，該如何構造原函數呢？

此環節筆者引導學生歸納如下常見的函數模型：

（1）構造“+（-）”型函數

f′（x）±g′（x）>0，構造F（x）=f（x）±g（x）. 如f′（x）-1>0，構造F（x）=f（x）-x；如f′（x）+x>0，構造F（x）=f（x）+x2.

（2）構造“×”型函數

f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，構造F（x）=f（x）g（x）. 如xf′（x）+f（x）>0，構造F（x）=xf（x）；如cosx·f（x）+sinx·f′（x）>0，構造F（x）=sinx·f（x）；如cosx·f′（x）-sinx·f（x）>0，構造F（x）=cosx·f（x）.

（3）構造“÷”型函數

>0，構造F（x）=. 如xf′（x）-f（x）>0，構造F（x）=；如f′（x）-f（x）>0，構造F（x）=；如f（x）>f′（x）tanx（切化弦：cosxf（x）-sinxf′（x）>0），構造F（x）=（注意x的范圍）.

（4）構造“+-×÷”混合型函數

如f′（x）+f（x）>1，即exf（x）+f′（x）ex-ex>0，構造F（x）=exf（x）-ex.

（5）構造復合型函數

如f′（x）<2f（x），構造F（x）=；f′（x）

解題時，大多數學生習慣從已知出發，根據已知探索結論，然此類題目的解答思路正好相反，有一定難度. 為幫助學生突破這一難關，在講評環節中，教師應引導學生根據題目特點和已有經驗總結歸納常見的函數模型，培養學生的模型意識. 以上題目的條件雖然千變萬化，但是解題思路卻如出一轍. 講評時，教師不要急于講解，應引導學生觀察式子的結構特征，聯想導函數的原函數由哪些基本函數構造而成，以此通過等價轉化、類比聯想等基本思想方法構造出原函數，順利求解問題.

4. 抓住本質，正確求解

經歷以上過程，學生發現了解決此類問題的通法，即解不等式或比較代數式大小時，先是對結論進行變形，然后根據導函數模型構造原函數，利用原函數的單調性來解不等式或比較代數式大小. 不過在構造原函數時，由于函數定義域等方面會發生變化，所以在具體操作時可能會出現這樣或那樣的問題，需要師生注意. 在以上練習中，教師要帶領學生逐一分析，尋找錯誤產生的根源，抓住數學本質，豐富學生的解題經驗，正確求解.

教學思考

作業講評時，教師切勿“就題論題”，那樣不易于學生理解數學、掌握數學. 如在此類題目的評講中，若教師“就題論題”，則很難讓學生領悟其中蘊含的規律，也無法找到解題通法，而且“一題一法”式的教學會增加學生的心理負擔，容易讓學生產生畏難情緒. 而以微專題的方式進行作業講評，讓學生系統地掌握解決此類問題的方法，能夠提升學生的解題信心，克服學生的畏難情緒. 另外，通過有效總結和歸納，學生對構造原函數有了更加深入的了解，通過合理構造原函數快速解決問題.

在傳統教學中，大多數教師僅將作業看作鞏固知識和技能的武器，忽視了其發展學生思維能力、培養學生學習習慣的價值. 數學作業在數學教學中是不可或缺的，只有當教師對作業形成了正確的認識，才能充分發揮其價值，促進學生分析和解決問題能力的提升. 教師設計作業時應該精挑細選，除了遵循適度適量的原則外，還應關注作業的層次性、探究性，以此激活學生的思維，提高學生的數學學習興趣. 另外，教師批改作業時要避免簡單的“勾差”，應對作業情況進行分析和匯總，既要關注作業中存在的問題，又要整合優質的解題方法，充分挖掘題目的本質，以此優化學生認知，提高學生的數學素養.

在教學中，匯總作業中的錯誤，以微專題的方式進行講評，不僅可以幫助學生改正錯誤，而且有助于知識系統化建構和完善，讓學生獲得一般的數學學習和研究的方法，提升教學品質.

總之，作業講評不是簡單的糾錯，教師要重視對作業價值的挖掘，通過有效引導和啟發讓學生掌握數學學習和研究的方法，提高學生自主學習能力.

作者簡介：賈志錦（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.