高中數學概念建構策略的研究

［摘? 要］ 數學概念的建構方式有多種. 文章認為，實踐操作活動建構概念，能讓學生對概念的形成過程產生深刻理解，形成長時記憶；模型建構概念是幫助學生完善知識體系的基礎；演繹建構概念能讓學生理清概念間的聯系；類比建構概念可讓學生對概念的內涵與外延產生清晰的認識；反思建構概念可發展學生的學習能力.

［關鍵詞］ 概念；模型建構；演繹建構；類比建構；反思建構

概念是數學的細胞，是一切教學活動的基礎. 高中階段所涉及的數學概念包含代數、幾何、概率、統計與三角學等，量多且范圍廣，一些抽象程度高且綜合性強的概念，難免會給學生的學習帶來困擾. 幫助學生理清概念的內涵與外延是突破這一難點的關鍵. 實踐證明，優化高中數學概念建構可從以下幾方面做起.

活動建構概念

教學中，教師若將概念直接告知學生，學生很快就會忘記；若演示給學生看，學生能夠記住；若讓學生親歷過程，學生能弄清概念形成的來龍去脈. 動作是感知的源泉，是教學的基礎. 學生的智慧往往凝聚在十只手指上，操作活動的開展能為概念的建構，奠定生動形象的表象基礎，幫助學生更好地接納、建構概念.

隨著新課改的推進，在注重“過程教育”的當下，實踐操作活動的開展已經從一種課堂形式轉變為學生學習的內在需求，因此它成了不同數學課型的首選. 正如楊振宇所言，已有的知識與方法是別人指明道路讓你去走，而新的知識與學習方法需要我們自己去探索. 為了培養學生的創新精神，讓學生從根本上掌握概念的本質，教師應將培養學生的主動探索能力根植于課堂的每個環節，讓學生在手腦并用的活動中自主建構并內化新的概念［1］.

概念的形成會經歷一個漫長的過程，一般由人類通過大量實踐逐步抽象而來. 教學中，教師可創造更多的機會，讓學生親歷概念的形成與發展過程，尤其是在多媒體迅速發展的今天，教師可以借助幾何畫板等工具，讓學生經歷操作、發現、探索與歸納等過程，便于學生自主抽象概念，深刻體會“告知”與“自主建構”的區別.

實踐操作能改變學生的數學觀，養成學生良好的學習習慣. 教師設計概念教學時，應結合學生實際的認知水平和特點，創設豐富的活動情境，引導學生感知、體驗、應用概念，達到主動建構和完善認知體系的目的. 如判斷立體幾何中的空間直線與平面的位置關系，教學圓錐曲線、向量坐標、概率等，都可以通過開展活動來幫助學生建構概念.

案例1 “拋物線”的概念教學.

活動步驟：

（1）在一張紙的2厘米處畫一點，按照圖1所示的方法，將這張紙折疊20～30次獲得一系列折痕，并將這些折痕勾勒出來，形成一條曲線輪廓.

（2）觀察并猜想：所有折痕圍出了拋物線的形狀.

（3）畫圖，建立平面直角坐標系，獲得與y=1/4x2的圖像接近的圖像.

（4）借助幾何畫板演示折紙的過程與拋物線的形狀.

（5）如圖2所示，畫3條與y軸平行的直線，經過折紙發現其反射線恒過y軸上的某個定點.

（6）借助幾何畫板進行演示與證明.

（7）形成“焦點”“準線”的概念，概括拋物線的概念.

經過以上實踐活動的探索，學生很快獲得了拋物線及焦點與準線的完整定義. 在此過程中，學生積極參與整個操作過程，學習熱情空前高漲. 借助操作活動的開展實施概念教學，可讓學生在動手動腦的過程中仔細觀察，自主獲得問題的主要特征，為進一步抽象概念奠定基礎.

當然，概念教學活動的開展，除了動手實操外，教師還可以帶領學生觀察一些仿真的實驗，以形成直觀的視覺沖突，為更好地建構概念服務. 值得注意的是，隨著時代發展而興起的現代化教學手段，不能只作為教師在課堂上演示的工具，還要讓這些先進的設備設施成為學生動手實操的學具，鼓勵學生邊操作、邊觀察，獲得主動發現與建構新知的能力.

模型建構概念

數學模型是指為了達到某種教學目的，對現實原形進行抽象并簡化而來的數學結構. 建模思想的本質是抽象與轉化，從概念建構的角度來看，建模是指抽象出現實事物的本質特征，并將抽象而來的內容提煉轉化為概念的重要思想. 數學建模對學生領會數學思想方法，體驗概念形成具有重要意義.

建模思想指導概念教學，不僅利于學生建構數學知識，還能促進學生對新事物的理解與掌握，從一定程度上培養與發展學生的學習興趣，提高教學的時效性. 借助建模思想實施的概念教學與傳統的概念教學的側重點有所區別.

案例2 “數列”的概念教學.

傳統的數列概念教學，一般遵循以下流程，情境介紹有序變化的實例—抽象定義—辨析定義，其教學重點基本放在辨析哪些屬于數列、哪些不屬于數列的范疇，著重關注數列“有序”這一特點. 這種教學模式讓不少學生難以理解“有序”的要求是什么，為什么要研究“有序”這個問題.

以建模思想研究數列概念教學，一般遵循以下流程，師生共同探尋有序變化的實際案例—用數學語言表征案例所具備的共同屬性—抽象出數列的概念，其教學重點在概念的產生過程上，不僅要讓學生明白數列具有“有序”特征，還要讓學生結合數列概念的研究目的與產生過程，明白為什么數列具有“有序”特征.

類比以上兩種教學流程，前者將教學重心放在概念定義的辨析上，后者的教學重心則傾向于學生在建構概念過程中的體驗. 換個角度來分析，即前者更注重概念本身，而后者則跳出了概念本身，在建構過程中獲得理解. 也就是說傳統的教學模式能讓學生明白概念是什么，建模思想下的教學模式能讓學生明確概念為什么是這樣的.

我們所生存的這個物質世界本就存在著不少有序變化的事物，教師帶領學生主動發現這類事物的特點，并將其有序性抽象出來可讓學生建構新的數學模型，即形成數列概念. 鑒于以上兩種教學模式的類比，教師教學數列概念時，應將教學重心傾向于數列的作用與意義，切忌與學生一起糾纏在概念的字面意義上，糾結于字面意義的概念教學無法讓學生體驗到概念的實際價值.

演繹建構概念

數學知識本就是以概念為核心的演繹體系. 將高中階段的數學概念進行簡單羅列，會發現很多概念之間存在著一定的邏輯關系. 如大家熟悉的函數，它與對數函數、指數函數、三角函數等都有著重要的內在聯系，其中對數函數與指數函數是反函數的關系.

概念與概念之間不論是從屬關系，還是一般與特殊的關系，都為學生建構概念明確了方向. 從認知學的角度來看，概念學習同樣遵循“同化”與“順應”過程，此過程主要通過概念間的聯系而界定［2］. 其實，概念間的邏輯關系是概念教學的催化劑，它不僅能幫助學生建構穩固的知識體系，還能讓學生體驗從特殊到一般或從一般到特殊的認知規律.

綜上分析，教師在概念教學中可通過演繹來完善學生對概念間的邏輯關系的認識，讓學生建構完整的概念體系.

案例3 “三角函數”的概念教學.

三角函數的概念教學在三角比內容后，不少學生直接認為這是三角知識，若探索三角函數的圖像與性質時，教師沒有采取相應的辨析措施，直接以題論題進行講解，則會讓學生忽略“三角函數實則為一類特殊的函數”，教學效果自然大打折扣.

在三角函數概念的教學環節，教師如果帶領學生借助函數概念的研究方法，深化對三角函數的認識，那么三角函數概念的建構則順理成章. 這種以演繹建構概念的教學策略，對于學生而言，三角函數不再是孤立存在的三角學的相關知識了，而是“函數”這個大家族中的一個特殊點.

類比建構概念

數學知識體系中，有不少屬性類似的概念. 遇到這一類的概念教學，教師可帶領學生從已知的概念屬性出發，借助問題情境引發學生自主類比、抽象，并給予新概念合適的名稱. 如此，新概念更容易同化到學生原有的認知體系中.

案例4 “異面直線的距離”的概念教學.

異面直線的距離反映的是兩條異面直線相對位置的幾何量，其中異面直線形成的角并不能刻畫異面直線間的遠近程度，只能說明異面直線的傾斜程度怎么樣，如果想要刻畫兩條異面直線間的遠近程度，還需要用“異面直線的距離”來分析.

為了讓學生在類比過程中建構良好的概念結構，教師可帶領學生回顧之前接觸過的點與點的距離、點與直線的距離以及平行線間的距離等，邊回顧、邊概括它們之間存在的共同點為：每種距離問題都可以歸納為點與點的距離，且這種距離具有“確定性”與“最小性”特征.

明確了關于距離的特征后，再研究兩條異面直線的距離問題. 此時，要求學生自主探討以下兩個問題：①關于異面直線a，b，它們之上的哪兩點間具有最小距離？為什么？②如圖3所示，已知點B為直線a上任意一點，過點B作BA與直線b垂直，A為垂足，那么線段AB的長是異面直線a，b的距離嗎？

探究引導：過點A作AC與直線a垂直，C為垂足，點C與點B不重合，那么在Rt△ABC中有AB>AC，也就是說存在AB并非最小的情況. 而后又過點C作CD與直線b垂直……若線段只與直線a，b中的一條垂直，則該線段只能是由a，b上相應的三點連接而成的直角三角形的斜邊，其長絕不可能為a，b上任意兩點的最小距離. 那么，異面直線a，b上任意兩點的最小距離究竟是哪根線段的長呢？

通過以上引導，學生很快就有一種豁然開朗之感，并獲得結論：如果異面直線存在最小距離的話，那么最小距離就是與異面直線都垂直相交的線段的長.

在教師的引導與類比分析中，學生將獲得的結論進行規范論證并表述，確定當異面直線a，b存在公垂線段NM時，公垂線段NM的長是最小的，且是唯一的，因此公垂線段NM的長為異面直線a，b的距離.

類比分析讓學生自主建構新概念，其中對于已有的距離概念的理解是衍生新概念的附著點. 鑒于概念是由學生自主類比分析建構的，屬于一種自然過渡，課堂顯得自然、淳樸且充滿著生機. 實踐證明，抓住新舊概念的異同點，可讓舊概念成為新概念的學習基礎，讓新概念從舊概念的身上生長而來. 當然，類比的形式有多樣，如有限與無限的類比、平面和空間的類比等，類比帶來的結論并不一定完全準確，教師還應引導學生形成及時勘誤的習慣，以完善對概念的認識.

反思建構概念

眾所周知，衡量學生對概念的掌握程度，并不在于學生對概念的語言表征的情況，而要從學生對概念內涵與外延的理解程度來分析. 良好的反思習慣是建構概念的基礎，也是促使學生對概念產生深刻理解的主要途徑.

案例5 “雙曲線”的概念教學.

課堂中，當抽象出雙曲線的定義（略）后，為了強化學生對雙曲線定義中的關鍵詞“絕對值”“小于

F

F”等的認識，教師提出以下問題要求學生進行反思：①若在其他條件不變的情況下，分別將定義中“小于

F

F”的條件替換成“等于

F

F”和“大于

F

F”，點的軌跡會是怎樣的？②若其他條件不變，僅僅去掉“絕對值”，點的軌跡會是怎樣的？③當常數為0時，點的軌跡會是怎樣的？④去掉限制條件“小于

F

F”，其余條件均不發生變化，點的軌跡又會是怎樣的？

在以上幾個問題的驅動下，學生對雙曲線的定義進行了全面反思，把每一種情況都考慮到了. 這種反思建構概念的方式，讓學生對雙曲線的定義有了更深層次的理解，為接下來的應用夯實了基礎.

總之，概念教學在高中數學教學中占有舉足輕重的作用. 教師應從內心深處認識到概念教學的重要性，選擇優異的學生容易理解和認識概念的策略進行教學，讓學生在理解與認識概念的過程中夯實知識基礎，提升學習能力，發展數學核心素養.

參考文獻：

［1］? 邵光華，章建躍. 數學概念的分類、特征及其教學探討［J］.課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［2］? 章建躍. 如何幫助學生建立完整的函數概念［J］. 數學通報，2020，59（09）：1-8.

作者簡介：王蕾（1985—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲廣東省高中數學核心知識講解比賽二等獎.