淺析對“通法”與“巧解”的幾點認識

［摘? 要］ 在新課改的背景下，高中數學教學越來越關注學生基礎知識和基本思想方法的理解與應用，這就要求在解題教學中應重視通法的強化訓練，以此培養學生良好的解題習慣. 當然，巧解也有其無法替代的價值，在教學中應協調好兩者的關系，使其相互促進，助力解題能力全面提升.

［關鍵詞］ 通法；巧解；解題能力

在高中數學教學中，部分學生片面地認為“巧解”是提高解題效率的唯一有效途徑，為此在日常學習中常常沉迷于解題技巧，忽視了對通法的探究，最終影響了解題效果. 要知道，通法更具普適性，更能凸顯問題的本質特征，因此在解題教學中應重視通法，淡化特殊技巧，從而達到“會一題、通一類”的效果. 不過，通法與巧解相比，其解題步驟和運算過程可能更為煩瑣，操作也比較機械，因此教學時要處理好通法與巧解的關系，以便學生能找到最優解決方案，以此提高解題效率.

筆者結合具體案例談幾點對通法和巧解的認識，以期在日常教學中師生能夠處理好兩者的關系，相互促進，協同發展.

認識巧解與通法的差異

1. 巧解靈活但存在局限

巧解因其有助于簡化解題過程，提高解題效率而受到了廣大師生的愛戴，不過并不是所有的問題都能巧解，其具有一定的局限性，若在學習過程中過度地追求巧解，容易陷入誤區，最終影響解題效果.

例1 設f（x）=x（ex+ae-x）（x∈R）是偶函數，則實數a的值為________.

對于例1，其大致有兩種普遍的解題方法：解法1為定義法，即利用偶函數的定義f（-x）=f（x），通過等式變形求實數a的值；解法2為特值法，如利用f（-1）=f（1）直接通過解方程求實數a的值. 相信解題時大多數學生會選擇解法2，教師也提倡學生應用解法2解題，甚至有的教師講授例1時僅僅給出特值法，從而讓學生認為特值法是解決此類問題唯一的有效途徑. 對于本題利用特值法真的高效嗎？要知道，f（-1）=f（1）并不能確保函數f（x）一定是偶函數，那么學生解得a值后需要代入驗證，看看其是否滿足f（-x）=f（x），這樣加入驗證的過程與解法1的運算過程幾乎是相同的，可見，巧解并沒有真正地簡化解題過程. 另外，應用特值法時，部分學生常常忽視代入驗證的過程，盲目地認為f（-1）=f（1）是判斷函數f（x）為偶函數的充要條件，這樣就增加了錯解的風險. 可見，巧解并不一定是最優解題方案.

例2 已知等差數列｛a｝中，a+a=16，a=1，求a的值.

本題的解法比較靈活，但是大多數學生都由a+a=16先算出a=8，然后根據等差數列的性質，得到a，a，a為等差數列，這樣直接求出a的值是15. 根據“a，a，a為等差數列”這一條件求解，屬于巧解. 那么如果改變題目中的任意下標，此題是否還可以應用以上方法求解呢？答案是否定的. 巧解具有一定的局限性，在教學中僅強調巧解是不夠的，應引導學生找到解決問題的一般方法，這樣學生才能擁有以不變應萬變的能力.

2. 通法機械但應用廣泛

縱觀歷屆高考題目，其所考查的都是通法，因此教學中應淡化解題技巧，強化通法. 通法是一種易學的，且具有普適性的方法，雖然解題步驟和運算過程會有一些煩瑣，但是在通法的指導下學生可以快速地形成解法思路，以此提高解題效率.

對于例2，其實解決等差（或等比）數列問題時，已知兩個條件，那么就可以設公差（或公比），根據已知中的兩個條件列出方程組，求出首項、公差（或公比）. 如求解例2可以設等差數列｛a｝的首項為a，公差為d，所以a+a=a+6d+a+8d=2a+14d=16①，a=a+3d=1②，將①②聯立成方程組即可求得首項a=-，公差d=. 這樣無論下標如何變化，通法都適用，因為通法更具普適性，思維也更加嚴謹.

例3 如圖1所示，△ABC是邊長為1的正三角形卡紙，DE∥BC，現沿DE將卡紙剪成兩塊，記S=，則S的最小值是________.

解：設DE的長為x，則梯形的周長=x+1+2（1-x）=3-x，梯形的面積=（x+1）·

（1-x）=（1-x2），則S=·（0

0，

時，S′（x）<0，S（x）單調遞減；當x∈

，1

時，S′（x）>0，S（x）單調遞增. 故當x=時，S的最小值是.

從以上解題過程可以看出，本題求解的關鍵在于對·的處理，這個就可以用通法來解決，即利用求導的思路求函數的最值. 通法能為解題提供重要的思維導向，有助于提高解題效率.

例4 設各項均為正數的數列｛a｝的前n項和為S，已知2a=a+a，數列｛｝是公差為d的等差數列. 求數列｛a｝的通項公式（用n，d表示）.

解：由題設知=+（n-1）d=+（n-1）d，當n≥2時，a=S-S=（-）（+）=2d-3d2+2d2n. 由2a=a+a，得2（2d+d2）=a+2d+3d2，解得=d. 故當n≥2時，a=2nd2-d2. 又a=d2，所以數列｛a｝的通項公式為a=（2n-1）d2.

對于例4，解題的關鍵就是數列的和與項的轉化，即a=S-S，這步轉化即為通法，是解決所有S與a關系的通法. 利用通法解決問題可使思維更加有序，讓學生快速找到解題的突破口，高效解決問題.

其實，無論是平時的練習題還是高考題，它們都有通法的影子，因此在日常教學中切勿盲目地追求解題技巧，應從這些通法上下功夫，以此提高學生的基本能力，提高學生的數學素養.

處理好巧解和通法

在日常教學中，部分教師為了提高教學效率，展示自己的才能，常常會刻意提出一些巧解，讓學生感嘆巧解之妙，羨慕教師之能. 這樣久而久之學生會對通法的機械、煩瑣產生厭煩情緒，這樣容易出現“重巧解，輕通法”的現象. 但并不是所有的題目都是有巧解的，一旦學生想不到巧解，就會感覺無所適從，很難順利解決問題，因此在日常教學中應重視通法的訓練. 那么強調通法是不是就要完全摒棄巧解呢？答案自然是否定的. 巧解在提高解題技能、提升思維品質、優化解題思路、簡化運算過程等方面有著突出的作用，在學生理解和掌握通法的前提下，也應滲透一些巧解.

其實巧解有時候本身就是一種通法，而通法中也會有巧解的過程，所以不能將兩者完全割裂開來，應處理好兩者的關系. 在日常教學中，應先從基本思路出發，重視學生“四基”的培養，在學生已經熟練掌握基本思想方法的基礎上適當地介紹一些巧妙的解題方法，以此拓寬學生的思維，開闊學生的視野，提高學生的數學學習興趣. 在具體教學中應做到以下幾點：

1. 對“教”而言，應加強通法的訓練

通法是對數學知識的高層次抽象和概括，是對問題本質的理解和感悟，是高考所考查的核心. 對于教師而言，在日常教學中不僅要重視滲透這些思想方法，而且要有針對性地進行強化訓練，切實地讓學生掌握數學思想方法的本質，只有這樣才能讓學生擁有“以不變應萬變”的能力，才能幫助學生跳出茫茫“題海”. 不過，在日常教學中，為了“趕進度，擴容量，提效率”，大多數教師更側重巧解，常常會運用一些啟發性的問題將學生引入自己提前預設的巧解上來，那么若沒有教師的啟發和引導，學生是否能夠自己發現呢？要知道，教師與學生的認知水平、知識儲備有著明顯的差異，教師眼中的巧解不一定是學生能夠理解和接受的. 因此，在日常教學中，教師要將重心放在通法的掌握和鞏固上，巧妙地應用一些變式問題引導學生理解問題的本質，抽象出通法，切實提高解題能力. 值得注意的是，通法并不是簡單地模仿和套用，其更能考查思維的靈活性和變通性，更能體現數學知識的推理性和嚴密性，因此教師應多帶領學生體驗通法的妙用，以此培養學生的數學學習興趣，提高教學品質.

2. 對“學”而言，應先通法后巧解

對于學生而言，解題時不要盲目地追求巧解，應先嘗試用通法求解，從而通過對通法的鞏固和強化提高“用數學”的能力. 要知道，許多問題都能通過通法解決，但并不是所有題目都能找到巧解，因此在日常教學中應遵循“先通法后巧解”的原則，讓學生先將基礎知識和基本思想方法掌握扎實，這樣才能不斷優化解題方案，提升解題效率.

3. 對“練”而言，應讓巧解與通法同行

在平時的選擇題和填空題的練習上，教師應鼓勵學生嘗試應用通法去解題. 周知，填空題和選擇題或多或少都帶有一些技巧性，有些還帶有一些運氣，那么此類問題是否也可以用通法來解決呢？在日常教學中應鼓勵學生多思考、多嘗試、多探索，鼓勵學生應用不同的方法去解決問題，以此拓寬學生的思維，提高學生的綜合能力.

總之，在日常教學中，切勿貪多求快，應注重學生“四基”的培養，重視通法的理解與強化，以此讓學生的學習品質和思維能力得到持續的優化和提升.

作者簡介：詹前兵（1987—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，曾獲宜賓市普通高中數學教學質量“二等獎”.