利用教材內容重構 提升數學教學品質

［摘? 要］ 在高中數學教學中，教師應認真研究教材內容，按照教材內容重構原則進行適度有效的刪減、增補、置換，將教材內容轉化為適合學生發展的教學內容，以此提高教學有效性. 針對“函數與方程”中的零點處理問題，除了按照教材內容開展教學活動外，教師還應結合教學實際挖掘學生的認知誤區，滲透解決問題的方法，以此讓學生認清問題的本質，形成解題策略，提升教學品質.

［關鍵詞］ 教材內容；內容重構；教學品質

數學教材內容的深度和廣度是以數學課程標準為依據的，其滲透著編者對數學課程標準的主觀解讀，是編者對數學課程標準的一種具體化解讀過程. 同理，數學教師的“教”是對數學教材的一個具體化解讀過程. 教師要搞好教學工作，除了認真解讀教材外，還要結合教學主客觀條件及學生實際情況對教材內容進行重構，將教材內容轉化為教學內容，以此提升教學質量，提升學生的數學素養. 不過，由于教師的教學水平和學生的實際學情等方面存在差異，部分教師并沒有按照學生實際學情將教材內容進行有效轉化和重構，只是簡單地“照本宣科”，因教材內容與學生實際學情不符而挫傷了學生數學學習信心. 因此，在實際教學中，教師必須從學生實際學情出發，認真研究教材、研究教學，通過適當重構使教材內容更具普適性，更適合學生的發展. 本文以“函數與方程”中的零點處理為例，談幾點筆者對教材內容重構的認識，僅供參考.

對教材內容重構的認識

1. 何為教材內容重構

所謂教材內容重構，指教師依據具體教學情境和學生實際學情對教材內容進行適度有效的增加、刪減、置換、改編，將其整合為新的教學內容.

2. 教材內容和教學內容

顧名思義，教材內容就是書本上的內容，包括文字、圖片等. 一般來講，教材內容因限于篇幅往往會省略一些思維過程，因此教材內容不直接適用學生. 教師需要運用一些設計理論和方法對教材內容進行一定整合、改編，使其轉化為學生易于接受的，凸顯數學本質的教學內容，以此充分發揮教材內容的價值，提升教學有效性.

3. 重構教材內容的原則

重構教材內容不能憑借教師個人興趣愛好而隨意進行增加、刪減和改編，那樣容易出現脫離考綱，限制學生發展等負面影響. 在重構教材內容時應該遵循如下原則：

（1）遵循數學課程標準. 數學課程標準體現的是對學生的基本要求，是實施素質教育的主要依據，是開展教學活動的指導性文件，因此重構教材內容時必須以數學課程標準為綱，遵循數學課程標準所提出的培養目標和教學要求.

（2）遵循教學實際. 因受地區差異、教學環境、師資水平、學生學情等諸多因素的影響，學生的學習能力往往會呈現一定的差異性，因此在具體教學中要避免“一刀切”. 教師應在遵循數學課程標準和教學實際的情況下，對教材內容進行適當調整，使其更適合學生學情，更適合學生發展.

（3）遵循考試要求. 重構教材的目的是更好地教學，而考試是衡量教學的重要依據，因此教師要認真研究命題方法，研究命題特點，從而通過有效重構更好地服務于教學、服務于學生.

教學實踐

1. 函數零點教材內容解讀

函數零點是高考的重要考點，也是公認的教學難點. 認真研讀教材不難發現，其主要涉及如下幾個知識點：

（1）函數零點的含義. 對于函數y=f（x）（x∈A），若存在實數x（x0∈A）使f（x）=0，則稱x為函數y=f（x）的零點.

（2）函數零點的意義. 函數y=f（x）的零點實際就是函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標.

（3）函數零點的性質. 若函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是一條連續不斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上至少存在一個零點.

若在實際教學中僅按照以上內容進行教學，很難讓學生理解函數零點的本質，這樣也就難以實現知識的融會貫通. 因此，在實際教學中有必要進行一定拓展和延伸，以此幫助學生認清問題的本質，提高學生分析和解決問題的能力.

2. 函數零點教材內容重構

在函數零點的教學中，教師可以引入一些錯誤，滲透一些方法，以此深化學生對知識的理解，消除思維誤區，提升解題效率.

（1）借助錯誤，消除認知誤區.

數學知識是抽象的、復雜的，在學習過程中學生難免會誤入“歧途”，從而出現各種各樣的錯誤. 對于這些錯誤，教師要認真分析，找到真正的錯因，以此通過有效修補讓學生學懂學會.

根據學生平時作業、考試反饋進行分析，學生在函數零點的處理上最容易陷入以下兩個誤區：一是片面認為若函數為單調函數，那么它就有且僅有一個零點；二是認為存在極值的函數的零點至少有兩個.

例1 設a>1，函數f（x）=（1+x2）ex-a，求證：函數f（x）在R上有且僅有一個零點.

錯解：由已知得f′（x）=（1+x）2ex≥0，所以函數f（x）在R上單調遞增，所以函數f（x）在R上有且僅有一個零點.

錯因剖析：函數f（x）在R上單調遞增并不是判斷函數f（x）在R上存在零點的充要條件，如指數函數f（x）=2x在R上單調遞增，但是其與x軸并沒有交點，不存在零點. 可見，以上證明過程缺乏嚴謹性，應運用函數零點存在定理論證函數零點存在且唯一.

正解：由已知得f′（x）=（1+x）2ex≥0，所以函數f（x）在R上單調遞增，且f（0）=1-a<0. 當x>0時，ex>1，所以f（a）=（1+a2）ea-a>1+a2-a. 又1+a2-a=a-+>0，即f（a）>0，故函數f（x）在R上有且僅有一個零點.

例2 設函數f（x）=x2lnx-ax2+b在點（x，f（x））處的切線方程為y=-x+b.

（1）求實數a及x的值；

（2）求證：對任意實數b∈0，函數f（x）有且僅有兩個零點.

錯解：本題的錯解主要集中在第（2）問. 由第（1）問可知f（x）=x2lnx-x2+b，所以f′（x）=2xlnx-x. 令f′（x）=0，得x=. 當x∈（0，）時，f′（x）<0；當x∈（，+∞）時，f′（x）>0. 所以函數f（x）的極小值f（）=b-<0，即對任意實數b∈0，函數f（x）有且僅有兩個零點.

錯因剖析：本題中的函數存在零點與極值密切相關，但是根據極值小于0直接得出函數有兩個零點有失嚴謹. 在此類問題求解過程中應該在極值點附近取一個特殊常數，通過函數值是否異號判定函數是否存在零點.

正解：由第（1）問知f（x）=x2lnx-x2+b，所以f′（x）=2xlnx-x. 令f′（x）=0，可得x=. 當x∈（0，）時，f′（x）<0；當x∈（，+∞）時，f′（x）>0. 所以函數f（x）的極小值f（）=b-<0. 因為f（e）=e2-e2+b=b>0，所以函數f（x）在x∈（，e）上存在唯一零點.

下證函數f（x）在x∈（0，）上存在x，使f（x）>0：設h（x）=xlnx-x+1，則h′（x）=lnx. 當x∈（0，1）時，h′（x）<0，所以函數h（x）在（0，1）上單調遞減，因此當x∈（0，1）時，h（x）=xlnx-x+1>h（1）=0，所以x2lnx-x2+b>b-x. 取x=min｛1，b｝，則f（x）>b-x≥0，即函數f（x）在x∈（x，）上存在唯一零點.

綜上可知，對于任意實數b∈0，函數f（x）有且僅有兩個零點.

以上兩個誤區是學生在解題時最易出現的，教師要利用好這些錯誤的生成性資源，對錯因進行深度剖析，幫助學生理清問題的來龍去脈，以此消除學生的認知誤區，讓學生學懂會用.

（2）滲透方法，形成解決策略.

在教學中，學生常常會有這樣的困惑，概念、定理、結論等基礎知識背得滾瓜爛熟，在平時解題時也是得心應手，怎么在綜合訓練時就時常束手無策呢？究其原因，這與“教”和“學”的模式息息相關，教師喜歡“講授”，學生喜歡“套用”，平時練習的針對性強，多數范例可以用于模仿，所以學生通過模仿和套用能夠解決大多問題，但面對一些新穎別致的問題時，常常感覺無所適從. 若要改變這一現狀，教學中教師要帶領學生經歷一些過程，滲透一些方法，以此形成解題策略，提升解題能力. 不過，解題策略屬于一種思維意識，是難以靠講授形成的，需要在解決問題的過程中逐漸感悟、抽象，從而形成符合個體認知的解題策略.

例3 若函數f（x）=x2-2x-a在（0，4）上有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.

解法1：分類討論思想.

第一，當函數f（x）=x2-2x-a在R上只存在一個零點，則Δ=0，解得a=-1，零點x=1，滿足要求；第二，若x=0是函數f（x）的零點，此時a=0，另一個零點為x=2，滿足要求；第三，若x=4是函數f（x）的零點，此時a=8，另一個零點為x=-2，不符合要求；第四，若函數f（x）存在兩個零點，一個在區間（0，4）內，一個在區間（0，4）外，且不是端點，則f（0）·f（4）<0，求得0

解法2：數形結合思想.

由已知可知函數f（x）=x2-2x-a的開口向上，對稱軸為x=1，繪制圖1. 結合圖形可知，當Δ=0，即a=-1時，函數f（x）在（0，4）上只有一個零點；若函數f（x）存在兩個零點，一個在區間（0，4）內，一個在區間（0，4）外，則Δ>0，

f（0）≤0，f（4）>0，代入相關數值得4+4a>0，-a≤0，8-a>0，解得0≤a<8. 所以實數a的取值范圍是-1或［0，8）.

解法3：化歸思想.

函數f（x）=x2-2x-a所對應的方程為x2-2x-a=0，變式為a=x2-2x=（x-1）2-1，即a+1=（x-1）2. 由于函數f（x）在區間（0，4）上只存在一個零點，所以方程a+1=（x-1）2在區間（0，4）上只有一個根. 根據已知繪制函數y=（x-1）2和直線y=a+1在區間（0，4）上的圖像，如圖2所示. 當直線y=a+1上下移動，只有在a+1=0和1≤a+1<9時，方程在區間范圍上只有一個根，于是可得實數a的取值范圍是-1或［0，8）.

在教學中，教師要落實多元的教學機制，引導學生從不同角度分析，應用不同方式解答，從而在優化解題方案的同時，提高學生的學習能力和數學素養.

總之，在實際教學中，教師要認真研究教材內容，認真研究學生，認真研究考試，通過有效重構激發學生的學習動機，提升學生的學習能力，提高教學質量.

作者簡介：孫少仙（1986—），本科學歷，一級教師，從事高中數學教學工作.