關注教學過程，促進知識有序建構

［摘? 要］ 新課標引領下的高中數學教學，不再是機械的知識傳授過程，而是一種學生在互動中不斷自然生成知識的過程. 文章以“二元一次不等式（組）與平面區域”教學為例，從問題導入、揭示課題、自主探究、加強訓練這四個方面，具體談談在執教過程中該如何關注過程教育，以促進學生對知識的有序建構.

［關鍵詞］ 教學過程；過程教育；有序建構

格式塔理論認為，人的認知活動過程并非對各種經驗要素的簡單集合，而是對事物的各個部分與相互關系形成整體性的理解. 新課標也明確提出新知的建構離不開過程教育的支撐. 但是，當前仍有不少教師只將眼光放在學生對結論的掌握程度上，而忽視了過程教育的重要性，甚至出現了知識建構雜亂無章的情況.

鑒于此，筆者以“二元一次不等式（組）與平面區域”教學為例，具體談談在執教過程中，該如何關注過程教育，以促進學生對知識的有序建構.

教學簡錄

1. 問題導入

俗話說：“良好的開端是成功的一半.”課堂導入環節在一節課中具有重要意義，它不僅能讓學生明確本節課的學習方向，還能有效地激發學生的學習興趣，以最好的狀態進入課堂學習［1］. 本節課所涉及的內容比較抽象，故筆者結合問題情境，利用多媒體，提出“問題串”，在短時間內帶領學生進入學習狀態.

師：生活中，常會遇到一些有限資源合理分配利用的問題，遇到這種情況，我們要如何做才能達到最優的分配效果呢？

PPT呈現：某單位計劃生產甲乙兩種產品，生產甲類產品每噸需要用4噸A種原料，12噸B種原料，可獲得2萬元的利潤；生產乙類產品每噸需要用1噸A種原料，9噸B種原料，可獲得1萬元的利潤. 目前倉庫有10噸A種原料，60噸B種原料，怎么安排生產能獲得最大利潤？

引導性“問題串”：

（1）問題中提到的“怎么安排生產”是什么意思？安排生產誰？（變量設定）

（2）本題涉及的利潤和甲乙兩種產品的數量具有怎樣的關系？（目標函數）

（3）所設變量x，y被什么條件制約？（列表，寫不等式）

（4）本題信息量大，我們可以借助什么分析數據？（PPT呈現表1）

解：設甲乙兩種產品分別生產x，y噸，所產生的利潤為P萬元，那么實數x，y滿足12x+9y≤60，

4x+y≤10，

x≥0，

y≥0①，利潤P=2x+y②.

師：觀察此問提煉出的模型，這是一類在一定條件的限制下，與x，y相關的代數式最值問題，也是本章節重點研究的內容之一.

設計說明：從系統化的角度展示一個完整的問題情境，讓學生從中感知待學知識的必要性與實用性，本節課的教學主題也自然而然地呈現在學生的視野中.

2. 揭示課題

師：觀察關于x，y的限制條件，我們將前面兩個不等式稱為什么？

生1：二元一次不等式.

師：非常好！現在大家觀看PPT上呈現的重點內容. （PPT展示二元一次不等式與二元一次不等式組的概念）

師：大家能解出4x+y≤10嗎？

（學生解題，教師總結解的結構特征）

PPT呈現：二元一次不等式（組）的各組解都有一個對應的x，y值，而且x，y值還能組成有序數對（x，y），所有類似于此的有序數對（x，y）所構成的集合，我們稱為二元一次不等式（組）的解集.

師：我們一起來觀察一下，不等式4x+y≤10的解集可以用｛（x，y）

4x+y-10≤0｝來表示，顯然，能滿足不等式組①的解有無數個. 我們需要將所有解都代入目標等式②進行運算嗎？

生2：這是不可能完成的工作.

師：確實，從代數的角度出發，將每個解都代入目標等式進行運算是不現實的，也沒有這個必要. 這就要求我們換一個角度來研究該不等式（組）. 眾所周知，二元一次不等式（組）的每組解均可構成有序實數對（x，y），從這個角度來分析，我們可以看到它具有怎樣的幾何意義？

當學生討論后，教師將總結的內容呈現在PPT上：我們可以將有序實數對理解為直角坐標平面內的一個個坐標，那么二元一次不等式（組）的解集可以理解為直角坐標系內的點所組成的集合.

板書：有序實數對（x，y）?平面直角坐標系內的點.

設計意圖：通過引例中出現的二元一次不等式（組）介紹相關概念，既自然又高效. 在教師的引導下，學生通過舉例感知代數法在解題中存在的障礙，從而轉化思維角度，從幾何方向去研究二元一次不等式（組），這種轉變自然、流暢，不論從學生的心理角度還是情感角度，都能有效激發學生的探究熱情，為接下來教學做鋪墊.

3. 自主探究

師：我們依然來觀察4x+y≤10這個不等式，很顯然，該不等式與“4x+y<10或4x+y=10”是等價的. 對于4x+y=10的幾何意義大家比較清楚，誰來說一說？

生3：4x+y=10即y=-4x+10，該一次函數的圖像為一條直線.

師：很好！4x+y=10的解集為｛（x，y）

4x+y-10=0｝?直線y=-4x+10上的點組成的集合.

預設：若學生沒有想到從一次函數的角度來分析這個問題，可讓學生先將滿足該方程的若干組解寫出來，要求學生在平面直角坐標系中畫出這些解的坐標點，然后通過觀察引發猜想. 教師引導學生從一次函數的角度來解讀該現象，既可提高教學效率，又能促進學生思維的有效生長（描點的過程可借助幾何畫板操作）.

此處即本節課的教學難點，可分為以下幾個階段進行研究.

【階段1】? 師生協作，初步感知.

問題1：思考不等式4x+y<10的解集與哪些點組成的集合相對應.

要求學生分組討論，而后各組將結論展示交流.

預設：（1）不等式4x+y<10的解集與直線y=-4x+10左下方的點組成的集合相對應.

（2）不知道.

當學生表示“不知道”時，教師可結合學生認知提出問題，以輔助學生思考，如能否寫出該不等式的一些解？這些解的坐標點位于平面直角坐標系的什么位置，存在怎樣的分布特征？

隨著這些啟發性問題的引導，學生經歷書寫解、描點、猜想等過程（描點可借助幾何畫板操作）. 低起點、小步子的引導過程，讓學生的思維由淺入深逐步向前，對問題產生直觀認識與理解. 這種教學效果，是教師直接呈現結論無法比擬的.

問題2：不等式4x+y<10的解集與直線y=-4x+10左下方的點組成的集合相對應的理由是什么？

取任意滿足不等式4x+y<10的點P（x，y），均有y<-4x+10，從單因子變量控制法出發，取直線y=-4x+10上橫坐標亦是x的點P′（x，y′），因為y′=-4x+10，所以y

問題3：是不是直線y=-4x+10的左下方所有點的坐標，均滿足不等式4x+y<10？存在不滿足的點嗎？

探索步驟1：師生一起，借助幾何畫板在直線y=-4x+10的左下方任意取點，同時觀察代數式的符號情況，讓學生從直觀上形成一定的感知，然后實施論證，這種一般性的論證過程，無須過分追求嚴謹.

探究步驟2：在直線y=-4x+10的左下方任意取點P（x，y），直線y=-4x+10上一直有一個橫坐標相同的對應點（x，-4x+10），由于點P的位置在直線y=-4x+10的左下方，所以y<-4x+10，即4x+y<10. 由此可確定直線y=-4x+10的左下方的任意點P的坐標（x，y）一定滿足不等式4x+y<10.

此時，教師再次將不等式4x+y<10的解集板書于黑板上，并著重強調不等式解集與相應的平面區域的等價關系存在哪兩層意義，以加深學生的印象，讓學生更加深刻地理解這部分內容.

【階段2】? 深化理解，完整建構.

問題4：4x+y-10>0是指哪些點所組成的區域？

預設：（1）從問題本身的角度進行判斷.

（2）從補集的角度進行分析，4x+y-10>0是由直線y=-4x+10右上方的點構成的區域.

教師通過幾何畫板演示，拖動平面內的點，讓學生在直觀圖像的變化中，感知4x+y-10的符號（大于0，小于0，等于0）會發生怎樣的變化.

從補集的角度分析并板書如下：

U=｛（x，y）

x∈R，y∈R｝?坐標平面；A=｛（x，y）

4x+y-10=0｝?直線4x+y-10=0；B=｛（x，y）

4x+y-10<0｝?直線4x+y-10=0的左下方區域；C（A∪B）=｛（x，y）

4x+y-10>0｝?直線4x+y-10=0的右上方區域.

小結：（1）4x+y-10>0與4x+y-10<0表示的是直線4x+y-10=0不含邊界線的一側區域；

（2）換表達方式，即直線4x+y-10=0不含邊界的某一側區域內的所有點的坐標，必然滿足4x+y-10>0或4x+y-10<0（必滿足其一）. 因此，把直線4x+y-10=0一側（不含邊界線）的所有點的坐標都代入4x+y-10，獲得的結果要么均大于0，要么均小于0，也就是符號必定相同；而把不同側的點的坐標代入式子，獲得的結果的符號必定是相異的.

板書：在一個平面直角坐標系中畫出直線4x+y-10=0的不同區域（左下或右上），可體現出直線、方程、不等式、平面區域的對應關系. （借助幾何畫板展示圖像）

【階段3】? 實際應用，深化理解.

問題5：在草稿紙上畫出x+y≥0所表示的平面區域.

設計意圖：鞏固以上探究活動的成果，引導學生在自主操作中尋找探究規律與方法，為提煉從特殊到一般的數學思想做鋪墊.

（學生自主探究）

師：從以上探究過程來看，大家基本得到了以下結論.

（1）Ax+By+C>0（<0）代表直線Ax+By+C=0的某一側區域；

（2）具體判斷該區域位于哪一側，可結合以上兩個問題（問題4、問題5）的結論進行判斷：①代點檢驗，這種方法的檢驗依據是“同側同號、異側異號”；②將問題轉化成y>ax+b或y

設計意圖：逐層深入的三個探究階段的應用，能讓學生明晰探究過程與思路. 從直線與一次函數相對應的關系著手分析，學生更容易接受，這為順利展開探究互動奠定了基礎. 遇到教學難點時，教師并沒有應用“注入式”教學方法，而是結合學生的認知水平與教學內容的特點，順學而導. 主要表現在平面區域分割關系和集合互補關系對應處，有效地增強了學生對知識的理解.

關于不等式所表示的區域位于平面內直線的哪個位置的問題，教師并沒有直接將其拋給學生，而是鼓勵學生自主探究實踐后得以感知、體會并感悟，這種教學設計不僅遵循了新課標所倡導的“以生為本”“學生是教學的主體”等理念，還與學生的認知發展規律相吻合，更利于學生接納與吸收.

4. 加強訓練

練習：（1）嘗試畫出以下不等式（組）所對應的平面區域.

①2x-y+3<0；

②x≥0；

③3x+y≤10，

12x+8y≤60，

x≥0，

y≥0；

④（3x+y）x≥0.

（2）寫出圖1、圖2所示的平面區域（陰影部分，包含邊界）對應的不等式（組）.

（3）已知點（1，2），（3，-1）均位于直線x+y-m=0的同一側，求實數m的取值范圍.

（4）經過本節課的探索，獲得不等式組12x+9y≤60，

4x+y≤10，

x≥0，

y≥0的解集與相應的平面區域內的點為對應關系，當我們獲得相應的平面區域后，該如何求出最大的利潤呢？

設計意圖：從問題的正反兩面進行分析，不僅緊扣主題，還揭示了本節課所涉及的數形結合思想. 一個個問題的突破，不僅鞏固了學生的認知結構，還讓學生的思維隨著問題的深入而發展，為后繼教學奠定了良好的基礎.

完成以上教學環節后，教師帶領學生回顧、梳理、總結知識內容，并結合學生的實際認知水平設計分層作業，讓每個水平層次的學生都能在相應的作業中提升能力（具體過程略）.

教學分析

1. 新知引入，自然流暢

課堂導入從知識的系統性出發，站在章節的角度應用一個畫圖方便、內容真實的問題吸引學生的注意力，成功將生活與知識銜接起來，讓學生從心理與情感上自然而然地對本節課教學產生親近感. 這種導入方式有效激發了學生的認知沖突，將學生的學習積極性充分調動了起來.

2. 過程推進，清晰明朗

想要讓學生接納新知，僅讓學生知道問題的結論是遠遠不夠的. 學生只有做到知其然且知其所以然，才能從真正意義上內化并建構新知. 帶領學生體會知識的形成與發展過程，一環接一環的問題設置等，是促進知識自然生成的必經之路［2］.

本節課，教師以數形結合思想為主，逐步推進學生建立二元一次不等式（組）與平面區域的對應關系，整個過程目標明確、層次分明、思路清晰，學生的思維由淺入深地發展. 在解決問題的引導上，教師從學情出發，預設多種方案，從真正意義上實現了因勢利導的教學模式. 貼近學生最近發展區的一個個問題，讓整個課堂如行云流水般自然、流暢，有效地提高了課堂教學效率.

3. 關注難點，過程體驗

針對教學難點，本節課并沒有應用傳統的說教、重復、灌輸等方式，而是將教學難點分解成三個具有一定梯度的層次進行教學，讓學生在每個階段中體驗知識的發生與發展過程，同時在實踐操作中自發感悟知識的內在規律，深刻理解操作規則與方法.

4. 達成目標，深化應用

一般數學原理、規則等的應用，遵循正向、逆向、變式等原則. 本節課中，教師基本完成教學任務后，也是從這幾點原則進行應用設計的. 這種設計模式不僅讓全體學生都獲得了不同程度的發展，還闡明了看待問題的視角，有效培養了學生的問題意識.

總之，教無定法. 對于每個教師來說，不論面對怎樣的學生群體，授課內容是什么，都應從“為什么學”“怎么學”“怎么用”的角度出發，積極思索，讓每個學生都能在學習過程中建構新知，獲得各項能力的提升.

參考文獻：

［1］? 史寧中. 試論數學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［J］.數學教育學報，2016，25（04）：1-16+46.

［2］? 弗賴登塔爾. 數學教育再探——在中國的講學［M］. 劉意竹，楊剛，譯. 上海：上海教育出版社，1999.

作者簡介：楊世剛（1983—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學工作.