基于APOS理論的零點(diǎn)存在性定理教學(xué)要點(diǎn)

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (330022) 魏素云 易桂生

一、APOS理論要義

APOS理論是由美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育與研究實(shí)踐中發(fā)展形成的.該理論依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過程，提倡教師在教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生為主體，讓學(xué)生主動(dòng)探究、理解和掌握知識(shí).其教學(xué)流程如圖所示：

“操作”階段(Action)，學(xué)生需要通過操作來感知事物，理解所學(xué)內(nèi)容的意義.通過操作，學(xué)生對何為函數(shù)零點(diǎn)和零點(diǎn)存在的條件會(huì)有一定的感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)，教師應(yīng)向?qū)W生提供符合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理學(xué)習(xí)的材料或者情景動(dòng)畫，并相應(yīng)地設(shè)計(jì)出適合學(xué)生探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)，由此為歸納概括所學(xué)概念提供建構(gòu)的固著點(diǎn).

“過程”階段(Process)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者應(yīng)把“操作”階段中的感受進(jìn)行反省內(nèi)化.老師教學(xué)中，可以用問題串的形式，幫助學(xué)生從操作對象中跳出來，引發(fā)學(xué)生的思維逐步深入.

“對象”階段(Object)，學(xué)生通過對數(shù)學(xué)活動(dòng)的思考、分析、比較及抽象之后得到函數(shù)零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)存在性定理的條件，并在教師的引導(dǎo)下能用較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表述出其定義及存在性定理.

“圖式”階段(Scheme)，學(xué)習(xí)者頭腦中函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容將以一種綜合的圖式呈現(xiàn)，并在其知識(shí)體系中占據(jù)獨(dú)特的位置.這一階段，學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)的概念有較為完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或認(rèn)知框架，教師在教學(xué)中相應(yīng)地應(yīng)可通過練習(xí)讓學(xué)生達(dá)到對函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的理解，由此幫助學(xué)生形成零點(diǎn)概念的整體圖式.

二、教學(xué)目標(biāo)及重、難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

(1)能在結(jié)合具體的實(shí)例中，掌握函數(shù)零點(diǎn)的定義.

(2)能借助操作活動(dòng)，歸納總結(jié)出“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”，并能理解該定理的條件.

(3)在辨析和操作的過程中感悟其數(shù)學(xué)思想方法，并養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提高數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

2.重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

3.難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)存在條件的探究.

三、定理的教學(xué)過程

1.新課引入

問題1 2x-y-6=0表示什么？x=3表示什么？

預(yù)設(shè)：2x-y-6=0表面上看是方程.同時(shí)x=3也是二元一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

問題2 方程2x+2x-6=0是否有實(shí)根？

預(yù)設(shè)：部分學(xué)生會(huì)把該方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=2x與y=-2x+6，再數(shù)形結(jié)合判定出方程根所在的區(qū)間范圍，也有學(xué)生想通過作出y=2x+2x-6的圖像，但發(fā)現(xiàn)很困難.

設(shè)計(jì)意圖：問題1主要是為函數(shù)零點(diǎn)概念做鋪墊，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程與函數(shù)之間的特殊關(guān)系.問題2則是引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.

2.感知定理

方程和函數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化，求方程的根就是求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

讓我們在直角坐標(biāo)系中畫一畫，以線條來代替函數(shù)曲線，怎樣畫曲線才能與x軸有交點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：師生根據(jù)圖像，選擇有交點(diǎn)的情況，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論.

問題3 什么條件下與x軸一定有交點(diǎn)呢？

預(yù)設(shè)：端點(diǎn)一上一下的時(shí)候.

問題4 在直角坐標(biāo)系中怎樣判斷端點(diǎn)是在x軸一側(cè)呢？

預(yù)設(shè)：根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)來判斷.

問題5 我們?nèi)绾斡靡粋€(gè)統(tǒng)一的式子來表達(dá)A、B兩點(diǎn)函數(shù)值是異號(hào)呢？

問題6 具備上述特征的函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸在區(qū)間(a,b)上一定有交點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：將函數(shù)零點(diǎn)存在性定理作為解決課堂探究問題的過程性知識(shí)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)操作中觀察，探索和發(fā)現(xiàn)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，函數(shù)連續(xù)性對定理的影響.

3.定理形成

總結(jié)：對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注學(xué)生判定定理的形成過程，通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生的思維逐漸深入，經(jīng)歷從具體到抽象并歸納總結(jié)出零點(diǎn)的判定定理.

4.定理辨析

結(jié)合函數(shù)圖象，判斷以下命題的正誤性，若不正確，請通過函數(shù)圖像舉出反例.

(1)若函數(shù)y=f(x) 在[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0，則它在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn).

(2)若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖象連續(xù)，且它在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.

(3)若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖象連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：通過以上判斷既是對學(xué)習(xí)活動(dòng)情況的總結(jié)，又是對函數(shù)零點(diǎn)存在性定理作進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，(1)函數(shù)圖象連續(xù)；(2)結(jié)論不可逆；(3)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定.由此讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能達(dá)到概念的精致化目的.

5.定理運(yùn)用

例1 若a

A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)

C.(b,c)和(c,∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,∞)內(nèi)

解：由a0，f(b)=(b-c)·(b-a)<0，f(c)=(c-a)·(c-b)>0，顯然f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，所以該函數(shù)在(a,b)和(b,c)上均有零點(diǎn)，故選A.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：上述例題及變式是利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否落在某個(gè)區(qū)間，并能通過存在零點(diǎn)的區(qū)間求函數(shù)解析式中變量的取值范圍，由此不僅可以通過零點(diǎn)存在性定理來判斷，也可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，通過圖像的平移得出結(jié)論.

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

變式討論方程2x+2x-6=0解的個(gè)數(shù)與分布情況.

解：一方面，考察函數(shù)f(x)=2x+2x-6，其零點(diǎn)就是方程2x+2x-6=0的解.計(jì)算得f(1)=-2<0,f(2)=2>0.可見該函數(shù)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn).另一方面，由于2x單調(diào)遞增而2x-6也單調(diào)遞增，因此f(x)=2x+2x-6單調(diào)遞增，所以該函數(shù)在(1,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn).

預(yù)設(shè)：本變式可通過學(xué)生練習(xí)并板書講解完成.

設(shè)計(jì)意圖：本例題及變式目的是強(qiáng)化通過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解決根的存在及個(gè)數(shù)問題，并將函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)融入其中形成知識(shí)組塊.

四、結(jié)語

APOS理論強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注過程，教師要給學(xué)生抽象概括的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從大量的事例中觀察、分析、抽象概括出它們的本質(zhì)屬性.教學(xué)中應(yīng)突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷一個(gè)從“形”到“數(shù)”的認(rèn)識(shí)過程.由此達(dá)到深入把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).在教學(xué)中教師重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生的思考，設(shè)計(jì)出以知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的主線、并以知識(shí)產(chǎn)生的必要性與合理性為著力點(diǎn)，努力用問題引導(dǎo)實(shí)施教學(xué).