基于培養學生創新能力的高等數學教學改革*

張 娜 謝斌鋒 李元林

（江西理工大學 理學院 江西贛州 341000）

高等數學作為一門邏輯嚴密，系統完整的學科，不僅是其他數學分支的重要基礎，而且在自然科學、工程技術、生命科學、社會科學、經濟管理等眾多方面中獲得了十分廣泛的應用，是理工類和經濟管理類以及其他許多專業最重要的數學基礎課，也是學生在后續學習中學習其他數學相關課程，如線性代數、概率論與數理統計、復變函數、微分方程等的敲門磚，是一門重要的高校數學基礎課程。因此，大多數的高校選擇在大學一年級開設高等數學課程，從而學好高等數學課程對學生在高校之后的學習是至關重要的。通過對高等數學的學習，學生一方面可以獲得必需的微積分知識，學會應用變量數學的方法分析研究數量關系等；另一方面，也可以培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、科學思維能力等。總之，高等數學課程學習過程中所蘊含的邏輯推理能力和科學思維能力，能夠幫助學生形成以后在科學研究中所需要的科學思維方法，培養學生提出創新性問題和解決實際問題的能力。

目前，在高等數學的教學過程中有著眾多亟待解決的問題以及需要優化的方案，本文通過總結近幾年江西理工大學高等數學教師在教授高等數學實踐過程中所得的經驗以及通過總結學生在學習該課程中體現出的問題，提出了以下幾點在高等數學課程教學實踐過程中的遇到的重點問題。

一、高等數學課程教學實踐中的重點問題

1.“大課堂”模式下的高等數學課程的學習，忽略了學生對知識理解與掌握能力的不一致性，導致學生對知識的掌握參差不齊

以江西理工大學近幾年的高等數學教學實踐為例，教學班級人數一般在90-150之間，人數眾多且該課程的學習時間緊、學習任務重。大多數情況下，同一個大班級中的學生對知識的理解速度和掌握能力是有很大偏差的，這一現象在高等數學的學習過程中尤為明顯。因此“大課堂”模式下高等數學的教學過程中，很多同學出現了學習“脫節”的現象，這也影響了學生對后續課程的學習。普遍的情況是，高等數學考試中出現不及格的同學，在此后的線性代數、概率論與數理統計等的學習過程中也很難取得好的成績甚至再次出現掛科。雖然考試成績并不能全面地體現學生的學習效果，但這也在某一程度上說明了學好高等數學對高校學生來講是至關重要的。

2.高等數學課程所講授知識大多從數學理論出發，較少與學生所學的專業知識相結合，缺乏知識的應用背景，很難激發學生內在的自主學習意識

就目前的高等數學知識概況而言，在內容上缺乏學科特點和當前科技應用的背景介紹，主要側重于數學理論的嚴密性，在教學體系方面形式單一，教學過程比較乏味。具體情況是：一方面，教師為了完成教學任務，機械地講解理論知識，疏于介紹這些知識與學生專業課程及其他科學技術之間的關系，阻礙了學生的學習興趣；另一方面，這些內容對于初學者而言過于晦澀枯燥，增加了學生的畏難情緒，使學生產生排斥甚至厭學心理。事實上，嚴密的定義和理論推導雖然有助于為學生打造堅實的理論基礎和扎實的數學功底，但就效率而言，犧牲了知識的廣度，有可能導致學生對整個高等數學知識體系缺乏總體的框架式理解。

對于非數學專業學生來講，其中學習高等數學根本性目的不是為了對于數學進行研究，而是為了能夠促使數學知識在現實生活當中得到更加良好應用。通過采取數學當中方法和知識解決自己平時所遇到的各種現實問題。課堂講課過程當中，教師不僅僅需要充分幫助學生掌握基本定理、定義以及計算技巧，更為關鍵是要讓學生通過數學觀點以及意識去表述、解釋或者觀察現實問題，讓學生可以將現實生活當中所存在問題轉變成為數學問題，并且通過采用數學知識構建數學模型，應用數學促使問題得到解決。對于目前數學教師來講，關鍵是需要加強學生運用數學意識的培養。

3.高等數學課程的教學過程基本在課堂完成，缺失了培養學生在實踐中學習和應用的能力

高等數學的教學基本上采取課堂教學的方式，教師對于授課內容準備充分、準確，但限于學時，難以對重難點展開敘述，授課方式不夠形象和直觀。當前，以PPT加板書為基礎的教學模式已日益成熟，但是這種平面式的教學方式不利于幫助學生理解高等數學中眾多抽象的概念和方法，也無法培養學生在實踐中學習知識和運用所學知識解決實際問題的能力。

4.高等數學課程的教學模式基本以教師為主，形式單一，對學生自主學習能力的培養和內在驅動力的開發不夠

“教師講，學生聽”是高等數學教學過程中的常見模式，甚至可以說是固定模式。這種教學方式在當下的學習中有很多的弊端，比如學生的思維模式完全來源于講授課程的老師，隨著時間的推移學生很難再去主動思考問題、解決問題等。另外，多數情況下，老師與學生、學生與學生在課上和課下鮮有討論問題的過程。長此以往，學生幾乎失去了主動思考的能力以自主學習的能力。對于當前學生來講，由于受到傳統應試教育重大影響，所以大部分學生對于教師存在著比較大的依賴性，在學習的過程當中過于被動，所以，需要教師能夠進一步加強學生自學能力培養，否則很難讓學生順利完成學業。

高等數學的學習與初高中數學學習的不同之處就在于需要學生不斷地思考、發現與理解；需要學生在探索問題的過程中思考問題、分解問題，進而掌握邏輯思維的方法以及解決問題的能力；也需要學生在解決問題之后發現問題的本質，進而豐富自己的知識、提升自我的能力。所有這些都需要學生主動學習、主動思考以及主動總結。只有擁有了主動學習能力的學生才能擁有前進的內在驅動力，才能學得更加深入和透徹。因此，培養學生的主動學習能力，引導其主動思考是教師在高等數學教學過程中的主要任務之一。

5.高等數學課程的教學過程缺少創新，不能激發學生的學習興趣以及學習主動性

目前高校普遍依賴于用考試成績來判斷學生的學習效果。在此情況下，學生學習的目標就是不掛科、順利通過考試，因此容易產生學生應付考試的情況。在此學習氛圍中，專心學習、潛心研究數學問題的學生寥寥無幾。不單考試重要，教學過程也同樣重要。改革教學方式手段，不僅可以提高學生分數，更重要的是能培養學生的數學能力。學生缺乏學習動力的另外一個原因是，教師對高等數學知識之外的知識掌握有限，缺少高等數學在當下的實際應用，從而導致學生認為學習高等數學知識是沒有用的，只是為了修學分而已。因此，為了提高高等數學的教學效果，教師應該在針對不同的知識點給予合適的教學呈現方式，以激發學生的學習興趣和主動性。

二、高等數學教學的改革方案

針對以上我們所提出的高等數學教學過程中所呈現出的問題，學?；蛘呓處煂用娼o出了如下一些解決的方案。

1.“分層次”教學模式可以在某種程度上解決學生對知識理解與掌握能力的不一致性問題

在學生正式開始高等數學學習之前進行數學摸底考試，然后將學生按照考試中展現出的對數學知識理解能力的不同情況重新進行分班，之后，按照不同類型的班級制定教學計劃。這種分班方式在一定程度上解決了學生對所學知識的理解能力和掌握能力不同的問題。同時，針對數學學習能力格外突出的同學建立“強化班”，在教學過程中適當地加大學習難度，甚至加入考研題目為例題，促使這部分同學學習得更加豐富，這種方法使得部分具有數學造詣的同學能夠更加深入地學習高等數學知識，這一舉措可以讓很多熱愛學習數學的同學得到更好的發展。

2.調整和優化高等數學課程的教學內容，將所教授的知識與學生所學專業知識相結合

調整壓縮目前數學課中一些不常用的內容，弱化不常用的概念、定理及其證明過程，以理解為基本要求，會用為最終目標。以同濟大學數學系編著的《高等數學》（第七版）上冊為例，接近五十多個定義和定理，其中雖然過半的定義定理直接或間接涉及極限的概念，但沒有一個涉及極限的定義語言[1]。因此，極限代表了一種思維方式，而不僅僅是嚴格的定義，對大部分專業而言，極限定義都可簡單敘述為：“給定嚴苛的誤差條件，只要時間足夠長時都能滿足這一條件，那么極限存在”。所以，應該將學習的重點轉為對概念的理解和方法的掌握。同時，尋找高等數學知識與生活、科技及學生專業方向的聯系與應用作為教學中的經典案例，以此培養學生的科學思維方式和提高學生解決實際問題的能力[2]。比如，對經濟學專業的學生講解數列及其極限時，可以采用復利問題作為例子；在對機電工程專業的學生的教學中，可以將導數與積分跟電勢和磁通量等概念聯系起來進行講解；對物理專業的學生講解反常積分時，可與火箭發射過程中的第二宇宙速度相結合；對通信專業學生講解傅立葉級數時，可將授課內容置于信號處理下傅立葉變換的大環境中進行，讓學生明白高等數學中的定義、定理在本學科中的具體解釋和應用方法等。

3.運用信息化技術豐富高等數學課程知識的呈現方式，增強學生的學習興趣，提高學生的學習效率

高等數學傳統的教學模式大多只能通過文字將知識靜態地傳授給學生，不能將具體的變化過程動態地呈現出來。教師可運用信息技術，將某些概念、定理和證明等制作成動畫，動態地顯示這些內容，使抽象的概念理論變得生動、直觀和自然，使學生一目了然，進而提升學習效果。比如，在教授定積分求曲邊梯形的面積時，可將分解過程模擬為動畫，加深學生對定積分概念的理解及記憶。此外，還可以引入MATLAB等計算優化軟件的語法習慣和編寫方法以案例的形式穿插在日常的高等數學課程中，課下可要求學生利用這些軟件對課堂內容進行仿真和驗證。一方面，可以激發學生學習的積極性，培養學生自主學習的能力；另一方面，對課堂內容的重復既幫助了學生記憶知識和理解問題，也提升了學生的思維和動手能力。比如，學生對泰勒公式這部分內容普遍掌握得不好，但如果要求學生對泰勒公式實現編程和驗證，則會發現學生在編程之后通常都可以理解泰勒公式代表了怎樣一個結論。

此外，教師可以通過建立或者利用一些網絡教學平臺中的教學資源，如慕課、超星等充實自己的學習內容，拓展學生的學習視野，同時滿足不同學生的學習需求，讓學生能夠在眾多的教學方式中選擇適合自己的。

4.采用情境式引入，開放式討論等形式，開啟教師為主導，學生為中心的探究式教學方法

為了提高學生的自主學習能力，教師可以在教學過程中增加課堂討論、小組討論、研究型學習、專題講座等環節。一方面，教學方式靈活多變，可以增加學生的學習興趣。另一方面，通過問題驅動的方式讓學生自主學習和分析問題，從而解決問題，加深并提高學生對知識點的理解。在討論過程中，教師應不斷提高學生分析問題、解決問題的能力，從而提高學生的數學素養。比如，在學習函數求導法則時有一類求解冪指函數導數的問題，教材中對此問題的解決是通過取對數的方法來給出的，那請問還有沒有其他方法來求冪指函數的導數呢？此時，教師可以引導學生學習如何在學校的圖書館查閱和下載相關資料。正所謂“授人以魚不如授人以漁”。教師教授給學生知識的同時應該更加注重引導學生進行自主學習。

針對某些知識點，教師可根據真實情景提出問題，然后讓學生以小組方式進行討論，最后由老師總結知識所在。這樣以老師為主導方向，以學生為主體的學習方式可以加深學生對所學知識的理解并開啟研究型學習的模式[3][4][5]。比如，在學習曲率時，可以以工廠中打磨如圖1所示的工件為例引出，應該要用多大半徑的砂輪來打磨下面這樣一個橢圓形工件呢？左邊的砂輪太大，會出現過度打磨或者打磨不到的地方，右邊的砂輪又太小，那么打磨的時間會較長。那應該用多大的砂輪才最好呢?事實上，砂輪半徑大小的選取與工件邊緣的彎曲程度有關，而用來描述曲線彎曲程度的量就是曲率。然后探討曲線的曲率會跟哪些因素有關系呢？我們該如何來表示曲率呢？通過這樣的情景引入和探究式的學習過程讓學生進行自主思考，培養其自主思考和解決問題的能力[6]。

圖1 砂輪打磨工件

在課堂討論或小組討論時，及時發現問題并提醒學生，引導學生自主發現問題并解決。教師在學生掌握了基礎知識之后，組織學生開展研究性學習，使學生掌握解決每一類問題的基本方法，并體驗獲得知識的過程和發現問題，分析問題并且創造性地解決問題的能力。通過個體研究和小組學習的方式，培養學生獨立思考的能力及精誠合作的團隊意識和精神。如果有可能，鼓勵學生參與科學研究課題。如大學生創新訓練項目，大學生數學競賽、數學建模競賽等。

5.把高等數學的課堂教學與研究性活動有機結合，提高學生的學習興趣，挖掘學生的創新能力

高等數學的每一次課都需要介紹新的概念、定理等，這些概念和定理在建立之初都有許多背景和淵源，但這一部分在教材中是沒有什么體現的，所以應該讓學生了解所學知識的歷史淵源，創設情景模型，這樣可以提高學生的學習興趣，引導學生自主探索[7]。比如，關于定積分的起源是：500多年前，天文學家J.Kepler認為行星繞著太陽運動的軌道是橢圓，而連接行星和太陽之間的焦半徑在相等的時間內掃過相等的面積，要驗證這點，就要計算一些不規則圖形的面積，J.Kepler只能計算這些圖形面積的近似值，那如何計算出這些圖形面積的精確值呢?教師可以通過小組討論的方式先讓學生自己給出這個問題的解決思路和方法。

三、高等數學教學改革方案的實施及反思

在上述所提出的措施中，我們進行了分層次教學，并取得了一定的成果，學生成績明顯得到提升，部分學生也在數學學習方面得到了很好的發展。我們還建立了網上在線學習資源，并建立了相應的“線上線下混合式學習”模式，使學生的學習可以多樣化。

有些措施或者未能實施，或者實施過程困難重重，導致其結果并不理想。比如，課程與專業知識的結合，若要將所學習的高等數學知識與所教授學生的專業完全的結合是很難實施的，一方面，教授高等數學的教師缺乏相應的專業知識，需要具有相應專業知識教師的配合；另一方面，將高等數學知識與專業的融合需要大量的時間和精力，導致實施過程非常緩慢。另外，開放式和討論式學習的實施需要配套的評價體系，即如何將學生在此過程中展現的成果進行量化，需要授課教師花費大量的時間和精力去完成，既要體現個人的公平化，又要體現團隊的公平化，以目前我校的評價體系很難完成。反思我們的措施，有合理部分也有實施困難的部分，這也讓我們更加地意識到好的改革方案還需要好的辦法來實施，這也將成為我們以后探索的目標。