大概念思維激活學生數學惰性知識的途徑探析

黃清鈿

（大田縣第五中學，福建 大田 366100）

在教學中發現一些學生對某一章節的知識點掌握較好，但離開這一章節，換一種知識“環境”后，卻不能很好地運用這一章節的知識點。究其原因，是學生把所學的知識變成了惰性知識。惰性知識是指儲存在學生腦中的那些知識，學生只是知道它，并且頑固地在某個單元或者某節課里待著，不能深刻地理解運用這些知識，難以在不同單元，不同學科里進行知識遷移。［1］當這些知識離開學生當時學習的“環境”時，就顯得更加“懶惰”而停留在那個“環境”里，甚至被學生遺忘。學生的惰性知識極大地影響了數學解題能力的提高。于此，教師需用大概念思維指導學生閱讀，進行關聯導學、變式教學和單元教學以培養學生的專家思維，并基于專家思維激活學生數學惰性知識，從而提高學生學好數學用好數學的能力。

一、惰性知識形成原因分析

（一）因學生的惰性閱讀而形成

惰性閱讀是指瀏覽性、了解性地閱讀。教師布置學生閱讀課文，一些學生便走馬觀花似地閱讀一遍課文，既沒有做筆記，也沒有提問題和對閱讀內容進行思考，更沒有做相應的練習題。通過這種惰性閱讀所獲取的知識就是惰性知識。高中數學是一門抽象性、邏輯性、思維性很強的學科，學生若采用惰性閱讀的方式進行學習，則數學學習能力較難獲得提升，這也是許多學生對高中數學難以自學成功的原因。學生在閱讀高中數學課本時，知道課本里講什么，有什么，但是卻不懂得怎么應用所閱讀的內容，這說明學生的閱讀是惰性閱讀。

（二）因教師的“教教材”而形成

教材是教師教學的重要資源，需要教師創造性地使用，而不是一味地教教材。事實上許多教師唯教材至上，認為教材里有的內容就應該不折不扣地傳授給學生，而成為“教教材”的忠實執行者，教師的教學方法近似于“照本宣科”。

1.機械地照搬教材的內容

這類教師課堂所教的內容完全按教材編寫的內容傳授給學生，沒有整合，沒有聯系，沒有變式，學生所學的內容是“死”的，自然成為惰性知識，一旦情境改變或表達方式改變了，就無法將所學內容提取出來應用。

例如，教余弦定理，有教師只是將余弦定理的內容全盤托出：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。

教師講解完余弦定理，學生可能會理解，甚至能背誦這個定理，但是不能靈活應用。如果已知兩邊及其夾角求第三邊，學生可以直接用這個定理解決問題；如果已知兩邊和其中一邊所對的角，求第三邊，學生可能不懂得同樣可用這個定理解決問題。這是因為學生所學的內容一旦成為惰性知識，就很難靈活地應用。

2.孤立地施教知識點內容

高中數學每個知識點都不是孤立的，它必與其他知識相關聯，但在教學實踐中將所教知識點孤立地施教的現象并不少見。教師將課本中的知識點獨立地進行教學，按課本的引例介紹這個知識點的來源，然后講解這個知識點的內容，最后按課本的例題進行舉例應用。這樣的教學，學生對所學的知識點可以理解，對課后練習也可模仿例題解法而完成。但是，如果離開了本章本節內容，在期末考或其他綜合考試中，考查這個知識點時，一些學生就“傻眼”了，不知道要用這個知識點，甚至已經將這個知識點遺忘。這是因為教師孤立地教某一知識點，學生所學的知識就成了惰性知識，這些知識一旦離開它當時出現的“環境”，就很難被調出來應用。

例如，冪函數一節的教學，孤立知識點的教法是按課本的內容進行施教：先引入五個實例，列出五種函數關系式，然后講解冪函數y=xα的概念和α＝1，2，3，，-1 時冪函數的圖象與性質，最后講解課本中的例題。這種教法學生所學的冪函數知識很容易形成惰性知識，學生對冪函數的理解可能只局限在α＝1，2，3-1 這五種情況，當α等于其他值時可能就不知所措，如比較的大小就時不會解。

二、用大概念思維激活學生惰性知識的有效途徑探析

浙江大學劉徽教授認為，惰性知識的產生常常因為學生記住的僅僅是書本上所寫的“專家結論”，而沒有通過這種“專家結論”掌握背后的專家思維。因此，要激活學生惰性知識就要引導學生學會專家思維。專家思維就是能對所學的知識進行管理，把所學的定義、定理、法則、公式等知識圍繞若干大概念彼此聯系形成一個網絡，在具體運用到某一知識點時自然會關聯到相關的知識點，使每個知識點活起來。其中大概念是指“能反映學科本質，能夠聯結和統領零散知識點，處于更高層次、居于中心地位、藏于更深層次，能長久保留和廣泛遷移的原理、思想、方法等”。［1］

（一）以大概念思維指導學生閱讀

高中數學新教材第一冊（人教版2019 年6 月第1版）的主編寄語對學生學習高中數學建議“采取閱讀自學、獨立思考、實踐探究、合作交流等多種學習方式”。其中閱讀教材是學生學習高中數學的重要方式，但是，如果閱讀方法不當就容易將閱讀內容轉化為惰性知識，學生很難學好高中數學。要讓學生的閱讀內容不至于形成惰性知識，可用大概念思維指導學生閱讀。一是教師在布置閱讀任務時要引導學生尋找閱讀內容中的大概念，通過這個大概念組織所要閱讀的內容，模仿專家思維，從整體、關聯角度將所學內容結構化，促使學生對學習內容進行思考分析，形成活性知識。二是要指導學生做筆記，在大概念導向下，能將學習內容畫成知識結構圖，提出思考性問題，并通過閱讀教材內容進行解決。三是嘗試完成教材中的例題、課后練習題，通過練習進一步激活所獲取的知識。

例如，等差數列一節，課本陳述了等差數列的概念及其通項公式、等差數列與一次函數的關系、等差數列應用舉例。如果沒有指導學生怎么閱讀，學生將教材內容閱讀一兩遍后，可能懂得什么叫等差數列，它的通項公式是什么，是特殊的一次函數，會解決基本的等差數列通項公式問題。顯然這樣學習的深度是不夠的，所學的內容容易形成惰性知識。如果用大概念思維指導學生學習，則能促進學生深度學習，提高學習效率。本節的大概念便是一次函數，可將一次函數的學習方法遷移到本節內容，讓學生站在更高的站位來學習等差數列。學習一次函數主要內容是定義、解析式、一次函數的圖象及性質。為此可為學生提供以下閱讀提綱：

1.如何定義等差數列？如果等差數列的第n項用f(n)表示，那么f(n+1) -f(n)的結果是什么？

2.怎樣表示等差數列的通項公式？等項數列的通項公式與一次函數解析式y=kx+b(k、b是常數,k≠0)如何對應？

3.一次函數y=kx+b(k、b是常數,k≠0)可用待定系數法求k、b的值，如何用待定系數法思想求等差數列通項公式中相關的量an、a1、n、d？

在一次函數這個大概念的導向下，學生用一次函數的觀點來閱讀教材，把等差數列看成是特殊的一次函數，有熟悉的“背景”，又有特殊的內容，讓學生閱讀時感到熟悉又不得不思考，使“死”的知識“活”起來。

（二）以大概念思維“用教材教”

1.“用教材教”要關注知識的整體性和關聯性

在教學中聽到一些教師說學生“上課聽得懂，但作業難完成”。究其原因是教師的教學缺乏整體性和關聯性，就教學內容進行“教教材”而不是“用教材教”，所教的內容是孤立的，學生聽得懂，但容易形成惰性知識，不能很好地用所學的內容解決問題。大概念思維的“用教材教”則充分運用知識的整體性、關聯性。［2］即在教學某一知識點時，尋找該知識點更大的整體背景，提取相應的大概念，然后聯系本知識點相關、相似、相異的內容進行融合教學，讓這個知識點成為“知識線”或“知識面”，以便更好地記憶和運用。

例如，對數函數一節，如果按課本編寫順序教學，教完對數函數的概念后，講對數函數的圖象和性質，再講相應的例題，最后講不同函數增長的差異。這樣，學生或許能聽得懂，但因為被動接受知識，缺少經過大腦的思考加工，所獲取的知識是幾個“點”，是“死的”，而課后的作業往往需要相關的“知識線”或“知識面”方可解決，學生所獲得的知識“點”難以解決作業中所需要的“知識線”或“知識面”，于是便出現了“上課聽得懂，作業難完成”的現象。用大概念思維教學，則可將所要學的“知識點”與相關的“知識線”或“知識面”有機地聯系起來，使“知識點”轉化為“知識線”或“知識面”。對數函數一節的大概念是函數及其關聯函數。研究函數常從八大方面研究：解析式、定義域、值域、圖象、奇偶性、單調性、特殊點、最值，對數函數也可從這八個方面研究；對數函數的關聯函數有一次函數、二次函數、指數函數。因此，本節內容的教學可以設計以下學習提綱引導學生學習。

（1）閱讀教材，列表分別寫出以下四個函數的定義域、值域、圖象、奇偶性、單調性、特殊點、最值，并比較這些函數的增長速度：y=2x，y=x2，y=2x，y=log2x。

（2）對比函數y=2x與y=log2x的圖象及定義域、值域，說明什么是反函數。

（3）觀察函數y=log2x與y=圖象，說明兩函數的關系及實際運用。

（4）對數函數y=logax，當a＝4，3，2 時，在同一直角坐標系上分別畫出它們的圖象，觀察這些圖象的變化情況，你可得出什么結論？

（5）利用函數圖象求下列不等式中實數a的取值范圖

學習提綱立足于函數大概念，將相近相似相異的函數聯系在一起學習，使本節“知識點”轉化為“知識面”，促進學生思考探究，體驗深度學習的快樂，較大地提高學習效率。

2.“用教材教”要重視變式教學

培養學生的解題能力是高中數學教學的重要內容。要培養學生的解題能力，“用教材教”離不開變式教學。［3］就題講題很容易把學生“教死”，一題多變，一題多解能讓學生開拓思維，舉一反三，做到“學一題，會一類”。如果變式教學只是換換題目中的數字或沒有目的地換一個相近的題目，則得不到“變式”的效果。用大概念思維進行變式教學，則是從學生的思維廣度和深度出發對題目進行變式，它帶有目的性。為了擴大復習面可以以點帶面進行變式；為了鞏固解題方法，可以從思想方法上進行變式；為了加大深度，可以從綜合上進行變式。

例如，求函數y=的定義域。這是新教材人教版高中數學必修第一冊第四章4.2 指數函數一節的課后習題。教師在講評此題時如果只是講解如何求其定義域，那么學生所復習的知識就局限在指數函數，題目變化后可能就無從下手了。這種就題講題的習題教學方法，很難激活學生的惰性知識，解題能力得不到較好的提高。用大概念思維的習題教學則站在知識整體的高度，用變式聯系相關內容，讓學生活學活用所學的知識點。本題雖然是指數函數中的一個小題，但指數函數的大概念是函數，教學時可將指數函數與函數有關內容聯系起來進行變式教學，讓學生腦中的“指數函數”活起來。課堂上在講解本題后，教師可引導學生嘗試完成如下變式題后進行教學，以復習指數函數及其知識點的關聯應用。

第一組：為擴大復習面進行變式

（1）求函數y=的單調區間，并判斷它的奇偶性。

（2）求函數f(x)=的單調區間，并求出其值域。

（3）已知定義在區間［-1，1］上的奇函數f(x)，當x∈(0,1]時，f(x)=，求f(x)在區間［-1，1］上的解析式。

第二組：為鞏固思想方法進行變式

第三組：為加大深度進行變式

以上三組變式題，第一組復習了指數函數的性質及相關聯的函數單調性、奇偶性、值域等內容；第二組運用了分類討論思想和數形結合思想，強化學生的解題技能；第三組每題均引入參數，增加題目難度，綜合性更強，可促進學生深度學習。

（三）以大概念思維貫通離散的知識點

單元教學是當前倍受歡迎的一種教學方式，它能加強學生對章節內容的宏觀把握和整體認識，厘清知識的形成過程，形成知識結構，梳理知識關系，能較好地培養學生的學科素養。［4］但實際教學中一些教師將單元教學理解成“先總后分，知識點相加”的教學。即先對整個單元的內容作總體介紹，然后分別對每個知識點進行施教。這種單元教學實際是一種化整為零的教學方法，難以建立知識間的聯系，是知識點的累加，容易導致學生認知的碎片化，形成惰性知識。用大概念思維的單元教學則是先提取單元大概念并以該大概念為錨點組織單元教學。［5］即首先用所提取的單元大概念統攝與組織教學內容，將離散的知識點聯系起來，建立邏輯知識結構；其次圍繞大概念搭建核心觀點框架并將大概念細化為幾個次級概念，用這些次級概念聯系以前所學的知識點進行教與學的活動；最后是教師以專家的身份指導學生完成教師所設計的導學問題并進行答疑解惑。

例如，數列單元用大概念思維進行單元教學，首先是提取本單元的大概念“函數”。數列是特殊的函數，可以借助函數的研究路徑來學習數列，即引導學生從函數角度看數列，類比函數的“定義-表示法-性質”的研究路徑學習數列的三種表示法；類比從一般函數到特殊函數的研究順序并沿用函數“事實-概念-性質-應用”的研究路徑學習等差數列和等比數列。其次，將大概念“函數”細化為幾個次級概念，例如用函數的表示法對應數列的表示法，用一次函數對應等差數列的通項公式，用二次函數對應等差數列前n 項和，用指數函數對應等比數列的通項公式。這些次級概念既聯系數列相關知識點又聯系函數的有關內容和方法，讓本單元內容融入更大范圍的一個整體之中。最后，教師設計單元教學的導學問題引導學生先學，之后教師根據學生存在的問題進行施教。數列這一單元可以設置以下導學問題：

1.回顧函數的概念、三種表示法、性質的研究過程，閱讀課本類比學習數列的概念、三種表示法、性質。畫出函數f(x)=x2+2x圖象和數列an=n2+2n的圖象，并說明數列是特殊的函數；f(x1)+f(x2)+… +f(xn)與a1+a2+…an有何區別，并說明an與前n項和Sn的關系。

2.如何定義等差數列？一次函數f(x)=kx+b(k、b為常數,k≠0)，與等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d如何對應？數列{nk+b}是等差數列嗎？若是，其首項、公差分別是什么？

3.畫出等差數列通項公式f(x)=dx+(a-d)的圖象，當x=p、q、s、t（均為正整數），且p+q=s+t時，根據梯形中位線定理說明ap、aq、as、at之間的關系。

4.等差數列的前n 項和公式如何與二次函數對應？課本例題9（2020 年5 月人教版選擇性必修第二冊第23 頁）如何利用二次函數求最值的方法求解？

5.如何定義等比數列？等比數列如何與指數函數對應？參照學習等差數列的方法學習等比數列。

數列的單元教學始終貫穿著函數的思想，以上導學問題用以引領學生用函數的思想進行學習，具體到某一節課的學習還需分解出相應的子問題，引導學生聯系前后內容，將數列相關知識點與函數相關知識點類比學習，教師以專家身份進行指導解惑，從而逐步完成單元教學任務。