四足機器人腿部結構設計與分析

胡家信 秦海鵬 朱小明

四足機器人腿部結構設計與分析

胡家信 秦海鵬 朱小明

（長安大學工程機械學院，陜西 西安 710064）

為了提高四足機器人的能量密度和在復雜地形下的機動性，文章設計了一種具有四自由度的四足機器人單腿結構。首先，參考哺乳動物的腿部仿生拓撲結構，搭建了四足機器人的單腿三維模型。其次，通過DH模型法，對其進行正逆運動學分析，求解機構的正逆運動學方程。之后，根據求得的正向運動學方程，利用matlab對機器人足端的運動空間進行分析，繪出足端運動空間云圖。最后，通過速度分析和靜力學分析，得出機器人各個關節的額定轉矩，驗證該機構的可行性。

四足機器人；結構設計；運動學分析；靜力學分析

引言

隨著人類文明的進步，人們在執行一些危險性較高、難以執行的任務時，更希望通過機器人代替人們來執行，如在抗震救災、高空作業、污染土壤水質取樣等許多方面。其中，四足機器人憑借其優越的避障能力，高效的機動性，超高的靈活性，越來越受到人們的青睞[1]。然而目前四足機器人的負載重量較低，速度較慢，其性能有待進一步提高，機械腿作為四足機器人的重要基礎部件，決定了四足機器人的核心應用性能，當前大多數機械腿在沖擊和推進狀態下的機械強度、能量效率、總功率密度、載重量比等性能指標都不理想[2]。為此，本文設計了一款高機動性和高能量效率的機械腿，旨在解決上述問題。

1 機器人的腿部總體結構設計

常見的四足機器人的腿部結構主要有關節腿和棱柱腿，棱柱腿型的腿部結構顧名思義由諸多連桿相互鉸接而成，腿部結構簡單、輕巧，慣性很小[3]。然而，這種類型的腿由于旋轉關節較少而限制了自身的運動性能，這導致了其對地形的適應性不足。與棱柱腿相比，關節腿采用旋轉關節代替直線棱柱關節來實現腿長控制，具有良好的幾何拓撲仿生性、更好的運動性能、更大的自穩速度域、更寬的腿腳運動空間和更高的能量效率。它在復雜地形適應和障礙物穿越方面顯示出更大的優勢。因此，本文采用了關節腿的形式，設計了如圖1所示的四自由度（兩個主動自由度和兩個被動自由度）四足機器人單腿模型。

圖1 四足機器人單腿三維模型圖

圖1中，分別在單腿的髖關節、膝關節設計了一個主動的轉動自由度，用于控制腿部的運動；跖骨桿、大腿桿、小腿桿以及連接桿形成了一個四桿機構，使踝關節變成了一個被動關節，跟隨髖關節和大腿關節的轉動；脛骨桿、足端和跖骨桿也是一個四桿機構，當足端與地面接觸時，足端的位置自動跟隨地面，這樣連接關節也將被動確定，因此，足端關節也是一個被動自由度。在桿長的確定方面，結合實際應用需求以及四桿機構運動原理，選定大腿桿有效長80 mm，小腿桿有效長164 mm，跖骨桿有效長122 mm，連接桿的長度決定了整個機器人腿部能否達到預期位置，由于各個關節均沒有周轉副，雙搖桿機構即可滿足需求，選定連接桿的有效長為176 mm。

2 單腿運動學分析

機器人的運動學分析就是在不考慮機構所受力的情況下，分析系統的運動特性。具體來說就是描述末端執行裝置與中間各桿件之間的運動學關系，一般可分為兩大類：正向運動學與逆向運動學。

正向運動學就是在已知機器人運動的各桿件的幾何信息和關節變量的情況下，將一個個坐標系固結在各個桿件上，最終求解從固定不動的基礎坐標系變換到與末端執行裝置固結的坐標系的變換過程。反之，所謂逆向運動學就是在已知從基礎坐標系變換到末端執行機構的坐標系的情況下，來求解中間各個關節變量[4]。

圖2 正向運動學與逆向運動學轉換關系圖

本文的符號描述如下：

繞y軸旋轉的旋轉矩陣為：

繞z軸旋轉的旋轉矩陣為：

為了將平移變換和旋轉變換結合起來，可以用齊次變換矩陣綜合表示：

2.1 基于DH模型法的正向運動學求解

機器人正向運動學的求解方法的一般方法是DH模型法，即在機器人腿部結構圖上建立DH坐標系（如圖3所示），然后將相關的參數列于DH Table中，進而根據DH Table中的數據，求解齊次變換矩陣，最終列出末端執行裝置相對于基礎坐標系的正向運動學方程[5]。

圖3 機器人腿部的DH坐標系

根據DH模型法求解過程，將有關的DH參數列于表1中，其中，α-1為相鄰兩個Z坐標的扭角，a-1為相鄰兩個Z坐標的公法線的長度，d為相鄰兩個X坐標在Z方向上的距離，θ為相鄰兩個X坐標的夾角。

表1 單腿DH參數表

由坐標系變換的鏈式法則，可得出坐標系{i-1}到坐標系{i}的齊次變換矩陣為：

以上公式中1，2，3均為腿部各個桿件的長度，1，2，3為各關節處各個桿件的轉角。

2.2 逆向運動學分析

2.2.1 求解1

令兩式相等，可得：

將上式方程左右兩邊同時平方后，再相加整理可得：

為了求解式（7），可以利用三角代換得式（8），

其中，(,)是2幅角反正切函數。

將式（8）帶入式（7），并根據正弦函數與余弦函數之間的平方和為1的關系，可得式（9）如下：

于是可令：

化簡后可得到1：

上式中的正負號分別對應兩個1的可能解，可根據機器人實際位置進行取舍。

2.2.2 求解2

令矩陣方程左右兩邊的元素分別對應相等可以得到式（12）如下：

之后解法可參照求解1的過程，令式（12）方程左右兩邊同時平方后相加整理化簡后可得下式：

利用三角代換可得：

式中

將式（14）帶入式（13）可得式（16）和（17）如下：

令

上式中，正負號分別對應2的兩個可能解，可根據機器人實際位置進行取舍。

2.3 利用蒙特卡羅法分析足端運動空間

為了能夠更好地分析四足機器人在運動時足端所能達到的空間，需要對足端進行運動仿真分析，以便進一步驗證結構設計時的合理性。足端空間分析在這里選擇的是蒙特卡羅分析法，首先，根據機器人腿部結構的正向運動學，選定1，2，3為變量，并確定各個變量的取值范圍：

隨后，為每個變量抽取隨機數，使變量包含于以上范圍中，并帶入正向運動學方程，即可求得一個足端在笛卡爾坐標系下的坐標位置。將這個過程重復1 000 000次，可以得到足端運動空間云圖如圖3所示。

圖3-坐標系下的足端運動空間圖

由圖3可知，足端在髖關節處的基礎坐標系中所能達到的位置主體大多位于軸之下，且基本關于坐標系對稱，基本符合哺乳動物后腿足端運動的要求。

3 靜力學分析與額定扭矩計算

為了合理的選擇關節處的驅動器，首先要對四足機器人的腿部進行速度分析，得到從笛卡爾坐標系映射到關節坐標系的雅可比矩陣，其次進行靜力學分析，根據機器人腿部所受的足端力和足端速度，通過雅可比計算出所需的關節力和關節速度，據此選擇合理的關節驅動器。

3.1 速度分析

速度分析是研究機器人運動的基礎，它同運動學分析一樣，也分為正解和逆解，從關節坐標系下的轉動速度計算出笛卡爾坐標系下的運動速度稱之為速度分析的正解，反之，從笛卡爾坐標系下的運動速度計算出關節坐標系下的關節轉動速度稱之為速度分析的逆解。

在本此設計中，髖關節和膝關節是主動自由度，踝關節處的運動通過四桿機構可以被動確定，因此，速度分析和靜力學分析時，只需要計算髖關節和膝關節處的速度和所受的外力即可。

圖4 四足機器人速度分析示意圖

此處可令

這里，J為雅可比矩陣。由此，式（21）可以簡化為：

上式便是四足機器人腿部結構速度分析的正解，而速度分析的逆解便是在式（23）等式左右兩邊同時左乘雅可比矩陣的逆，即可得到速度分析的逆解：

3.2 靜力學分析

機器人的靜力學分析的是指機器人在靜止或者低速運動的情況下，研究機器人各部分桿件所受的外力或者各桿件之間的相互作用力[6]。本文中，主要根據機器人所受的足端力來求解各關節所需的驅動力矩。圖5為本文的四足機器人單腿結構的靜力學受力分析簡圖。

圖5 四足機器人單腿靜力學分析圖

根據圖5所示，四足機器人的足端受到來自地面對其的支撐反力，其大小和方向均已知，方向沿桿方向，其豎直方向上的分力大小等于機器人承受的載荷。為了方便求解膝關節、髖關節處所需的驅動力矩，可以將大腿桿、小腿桿分離出來單獨分析，其受力如圖6所示。

圖6 四足機器人單腿部分結構受力分析簡圖

根據虛功原理，處于平衡狀態下的物體總虛功為零，得：

上式方程左右兩邊同時積分并簡化可得：

上式中，J為雅可比矩陣，展開得：

將具體數據代入計算可得，假定承載要求為20 kg，在靜止的情況下，單腿的承載能力最大為5 kg，再將足端載荷轉換到踝關節處可得踝關節的受力為3。因此，通過在3左乘雅可比矩陣的轉置可得髖關節和膝關節的額定扭矩為：

其中J為雅可比矩陣得轉置。

4 結束語

本文首先根據實際運用需求確定了機器人腿部的總體結構和大致尺寸，利用solidworks對機器人腿部進行三維建模。其次，利用DH模型法對其進行正逆運動學分析，求解機構的正逆運動學方程。之后，根據求得的正向運動學方程，利用matlab對機器人足端的運動空間進行分析，繪出足端運動空間云圖。最后，對四足機器人單腿進行速度分析和靜力學分析，得出機器人各個關節的額定轉速和額定轉矩。因此，本文對設計的四足機器人單腿進行了充足的理論分析，具有很高的可行性，更好的幾何拓撲仿生性，運動性能，更大的自穩速度域，更寬的腿腳運動空間和更高的能量效率，它在復雜地形適應和障礙物穿越方面顯示出更大的優勢。

[1] HYUN D J, SEOK S, LEE J, et al. High speed trot-running: Implementation of a hierarchical controller using proprioceptive impedance control on the MIT Cheetah[J]. International Journal of Robotics Research, 2014, 33(11): 1417-1445.

[2] 李鵬飛. 四足機器人結構設計與運動學仿真分析[D]. 昆明: 昆明理工大學，2019.

[3] 馬宗利，劉永超，朱彥防，等. 奔跑四足機器人腿結構設計與分析[J]. 東北大學學報(自然科學版)，2016，37(9): 1305-1310.

[4] SEN M A, BAKIRCIOGLU V, KALYONCU M. Inverse kinematic analysis of a quadruped robot[J]. International Journal of Scientific and Technology Research, 2017, 6(9): 285-289.

[5] 張千偉，張龍. 仿生四足機器人結構設計與運動學分析[J]. 兵工自動化，2017，36(5): 73-76.

[6] WANG H, SANG L, HU X, et al. Kinematics and dynamics analysis of a quadruped walking robot with parallel leg mechanism[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2013, 26(5): 881-891.

Design and Analysis of Leg Structure of Quadruped Robot

In order to improve the energy density and maneuverability of the quadruped robot in complex terrain, a single-leg structure of the quadruped robot with four degrees of freedom is designed in this paper. Firstly, referring to the mammalian leg bionic topology, a single-leg 3D model of the quadruped robot is built. Secondly, the forward and inverse kinematics of the quadruped robot are analyzed by DH model method, and the forward and inverse kinematics equations of the mechanism are solved. Afterwards, according to the obtained forward kinematics equations, use matlab to analyze the motion space of the robot foot, and draw a cloud map of the foot motion space. Finally, through speed analysis and static analysis, the rated torque of each joint of the robot are obtained to verify the feasibility of the mechanism.

quadruped robot; structural design; kinematics analysis; statics analysis

TP242

A

1008-1151(2022)11-0001-05

2022-08-23

胡家信（1997－），男，長安大學工程機械學院在讀碩士研究生，研究方向為機器人控制。