數學多元表征理論下的教學研究
——以“復數乘法運算的三角表示及幾何意義”為例

李倩

寧夏師范學院 （寧夏固原市 756000）

1 數學多元表征

最早的數學的呈現方式中，就存在著數與形兩方面，人們通過數與形相結合的方式認識世界，而從數學多元表征的視角下來看，“數”主要是指數學中的言語表征，也叫敘述性表征，如文字、數字、式子、數學概念等，“形”主要指數學中的視覺表征，也叫描繪性表征，如實物、模型、圖像、活動、幾何圖形等[1]。認識一個數學對象，從多元表征視角看，需要從多角度、多方面進行把握數學對象的本質。多元表征理論指導下的教學目的，不僅僅是掌握知識，更是幫助學生學會從學習多元表征，到會用多元表征學習，從而提高學習者整體的數學素養。

2 數學多元表征學習的意義

基于數學多元表征，本人認為數學知識的復雜抽象性決定了數學教學需要多元表征呈現知識，多元表征理論指導下的教學有助于多角度呈現知識，幫助學生深度理解知識；有助于動態化呈現知識，幫助學生活躍思維；有助于豐富化呈現知識，幫助學生邏輯思維、非邏輯思維和創新能力得到綜合發展。

多元表征能夠讓數學知識多角度地呈現在學生面前，多元智能理論指出每個人都擁有九種主要的智能，包括語言智能、邏輯數理智能、空間智能等。該理論對教學的啟發是在進行表征知識的過程中，需要多角度地呈現出來，這樣不同角度發現知識的過程就能發展學生的不同智能。除此，多角度地呈現知識，能幫助學生對知識有一個全面系統的認識，能夠深度理解知識，同時不會割裂知識之間的連貫性和整體性。

多元表征理論指導下，需要讓數學知識動態化地呈現在學生面前。動態化表征相較于靜態的圖片，更易于引起學生注意，學生也保持在一個活躍的情緒狀態下，更樂于投入學習中。同時，動態化地表征也能幫助學生深刻認識數學對象的產生過程，從新的角度來表征知識，促進學生對數學表征對象本質的認識。因此，多元表征理論下的教學，能幫助學生減輕認知負擔，對知識進行深刻全面的認識。如橢圓和拋物線的動態化呈現，通過動態化呈現給學生，幫助學生便于觀察并能對橢圓和拋物線概念以及幾何特征有更具體形象的認識。即到兩定點距離之和等于定長的點的軌跡是橢圓，而到兩定點距離之差等于定長的點的軌跡是雙曲線。動態地表征知識，還能更易區分不同知識之間的差異，認識到不同概念間的本質區別。

多元表征也能夠讓數學知識豐富化地呈現在學生面前，變異學習理論指出，以事物或現象呈現的原初狀態為“基值”，通過不同形式變換“基值”，使學習者逐漸認識事物或想象本質的一種理論[2]。從該理論出發，這就是多元表征的過程，通過豐富化的表征數學對象，幫助學生逐步認識數學知識本質的過程。同時，在豐富化表征下，包括視覺化和言語化表征，不同的表征下，幫助學生發展不同的能力。視覺化表征能促進學生的非邏輯思維的發展，并且能促進學生的創新思發展，而言語化表征能促進學生的邏輯思維發展，所以在豐富化表征下，能夠促進學生綜合全面發展。

3 復數乘法運算三角表示及幾何意義內容的表征分析

3.1 內容分析

復數包括代數表示和三角表示兩種，而復數的乘法運算在此基礎上也延伸出了代數表示和三角表示兩種方式，復數及復數乘法的三角表示形式為探究復數乘法運算的幾何意義奠定了基礎。在本案例中，分為兩個主要部分，復數乘法運算的三角表示和幾何意義的探究屬于幾何過程。

復數乘法運算的三角表示運算公式的推導過程，需要借助復數的乘法法則及兩角和的正弦、余弦公式，經過代數運算，得出結論。該過程屬于代數過程，也能夠幫助學生更深刻理解復數的模與輻角的概念。

復數乘法幾何意義的探究，基于復數的幾何意義，復數一一對應復平面內一點，也一一對應與平面向量；同時基于復數乘法運算的三角形式，即兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輻角等于各復數的輻角之和。從模和輻角兩個角度出發，探究復數乘法就是向量的伸縮或旋轉變換。

3.2 表征分析

（1）符號表征：復數乘法運算的三角形式——

（2）文字表征：兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輻角等于各復數輻角的和。

（3）圖形表征：兩個復數相乘，在其中一個復數對應向量的基礎上，旋轉另一個復數的輻角，模長伸長或伸縮另一個復數的模長倍。

（4）表征間的轉換：由符號表征向圖形表征轉換——解釋，的幾何意義；例題：

4 教學設計案例

4.1 設計思路

復數乘法運算的三角表示是復數三角表示的知識的拓展，在復數乘法運算的三角表示的基礎上探究復數乘法的幾何意義，它是“數”與“形”緊密結合的產物?；诙嘣碚骼碚?，教學中要始終注意從視覺化表征和言語化表征兩個側面，提出由言語化問題到視覺化問題后及時提出由視覺化問題到言語化問題，讓學生在數與形之間進行知識轉換，體驗數形結合的數學思想，從“數”和“形”的不同側面展示了數學的和諧之美。通過借助動態數學軟件動態化、直觀化、視覺化的媒介作用，能夠更好地用運動的觀點來看問題，即將本來靜止的復數乘法運算結果用旋轉和伸縮來考察，以此輔助教學。在這個過程中，能較好地提高學生直觀想象的核心素養以及讓學生深刻體會數形結合這一數學思想。

4.2 知識分析

知識名稱：復數乘法運算的三角表示及其幾何意義；知識來源：人教A 版必修第二冊第七章第三節第二課時“復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義”；教學重點：理解復數乘法的幾何意義；教學難點：復數乘法的幾何意義及利用其解決問題。

4.3 學情分析

學生處于高一年級，復數乘法的幾何意義是復數中的重點內容之一，它把復數的乘法運算轉化為向量的伸縮與旋轉變換，豐富了復數的內涵。但是教材中僅給出了一般結論，缺少必要的解釋與相應的訓練，不少學生認識上不到位，不能順利理解和接受，產生思維上的困難和障礙。

4.4 目標設計

（1）了解復數乘法運算的三角表示及幾何意義，復數乘法運算的三角表示是對復數三角表示的應用于拓展，拓寬復數的內涵。

（2）能說出復數乘法運算的幾何意義，會利用其解決簡單的問題。

（3）在利用復數乘法運算的幾何意義解決問題的過程中，感受數形結合的思想方法。從數到形的聯系，幫助學生加深理解復數乘法運算的幾何意義，在有形到數的練習中培養學生的逆向思維，注重表征間的轉換。

4.5 策略設計

教學方法：講授法、問題導學、演示法、探究法等方法。

設計教學流程：舊知回顧，引入課題→多元化表征，深度理解知識→表征整合，獲得方法技能→完成表征，掌握知識本質。

4.6 教學過程

4.6.1 舊知回顧，引入課題

首先，復習復數的三角表示，幫助學生回顧所學知識。引導學生特別關注從三角表示的角度來看，復數乘法是否能用三角形式表示，又具備怎么的幾何意義，從而引出課題。

設計意圖：通過復習舊知，發現知識網絡有待完善，引導學生思考新的問題，從而幫助學生初步形成系統的知識網絡。

4.6.2 多元化表征，深度理解知識

探究一：復數乘法運算的三角表示

（1）提出問題

如果把復數z1，z2分別寫成三角形式z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2）你能計算z1z2并將結果表示成三角形式嗎？

設計意圖：通過提出問題，給學生一定的啟發，引發學生思考，并起到提示的作用。

（2）計算證明

根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，學生動手計算。

設計意圖：本過程能夠培養學生的數學運算素養，同時鞏固所學的正弦、余弦公式，在此基礎上形成復數乘法的三角表示。

（3）歸納概括

符號表征：

文字表征：兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數輻角的和。

設計意圖：符號表征與言語表征的呈現中，通過多媒體軟件，講到積的模的變化時，將其中的r1、r2分別加粗變色強調，講到輻角的變化時，將角度進行加粗變色強調，加強言語與符號表征間的轉換，幫助學生對復數乘法運算的各表征之間建立聯系。

探究二：復數乘法運算的幾何意義

（1）提出問題

首先，通過學習復數乘法運算的三角表示，提出問題“由復數乘法運算的三角形式，你能否找到積與兩個因數的相互關系？（從代數出發過渡到幾何）”。

設計意圖：通過設問“積與兩因數之間的關系”，而不是直接拋出“復數乘法具有怎樣的幾何意義”，從多元表征角度，提出的問題更加具象，學生的學習過程就會更輕松移動，同時這樣更能激發了學習的“欲”，引發學生的思考，而不顯得生硬，難懂。

（2）觀察猜想

首先，針對以上提問，引導學生要解答該問題，需要借助復平面來表示兩復數和兩復數的積。接著，通過動態演示兩復數以及兩復數的積對應的平面向量。然后觀察復數乘法運算的三角表示式中積與因數之間的差異——輻角和模兩方面，進而思考，兩復數的積是如何在其中一個復數的基礎上生成的？

（2 點說明：1.不同復數的基礎上，兩復數積的生成過程相同；2.當其中一個復數的輻角小于0 和模長大于0 小于1 的情況。）

最后，通過以上操作，得出相應的研究結果。

積的模（長度）：積的模等于各復數模的積。它反映在圖上，是在某一模長的基礎上變成另一模長倍，這樣的乘法可以認為是在某一復數對應的向量的基礎上伸長或縮短另一模長而成。即模的變化可以通過伸縮形成。

輻角（角度）：積的輻角等于各復數輻角的和。它反映在圖中，是在某一輻角的基礎上再加上另一個輻角，這樣的相加可以認為是以某一復數對應的向量為始邊，按逆時針方向旋轉另一個復數的輻角而成。即輻角相加可以通過旋轉形成。

設計意圖：基于多元表征理論下的教學更加注重學生的學習過程，從而優化知識的呈現方式，通過動態數學軟件的演示，向量的伸縮與旋轉，能夠更清晰地傳遞本節課的重難點，幫助學生建立思維的橋梁。這不僅能在思路上給予學生點撥，更能在探索的過程中獲得新方法（漁）——數形結合。

（3）歸納概括

引導學生理解積與兩個因數的相互關系就是復數乘法的幾何意義，從而歸納復數乘法的幾何意義。（從復數的三角形式出發得到復數乘法的幾何意義）

設計意圖：通過歸納概括，學生能夠在不斷探索中建構自己的知識網絡體系，初步達到了知識目標（魚）。

4.6.3 表征整合，獲得方法技能

設置三個問題，利用復數的幾何意義進行初步的應用。

例1，你能解釋i2=-1 和（-1）2=1 的幾何意義嗎？

設計意圖：通過練習，幫助學生鞏固對復數乘法幾何意義的認識。第一、二個問題是從數到形，第三個問題從形到數，培養學生的逆向思維能力。通過表征間的轉換，幫助學生更深刻體會數學結合這一數學思想方法的奧秘，進一步理解復數乘法的幾何意義，這個過程能夠提煉出獲得知識的思想方法（漁）。

4.6.4 完成表征，掌握知識本質

（1）復數乘法運算三種表征方式：文字表征、代數表征、三角表征、幾何表征。

（2）學習了今天的課程，那復數除法又具備怎樣的幾何意義呢？你能否探究一下？

設計意圖：同時呈現復數的乘法運算的三種表征方式，幫助學生建立多元表征，同時學會多元表征學習。最終通過新問題的提出，激發了學生的學習興趣（欲）。

5 教學建議

5.1 依托多媒體，提高學習效率

數形結合是很多數學知識中很重要的思想方法，這體現出同一個數學對象能從多個角度進行呈現，這其中“形”的呈現就需要借助于多媒體軟件。依托多媒體軟件能夠讓數學對象動態地、直觀地呈現在學生眼前，幫助學生形成淺層的心象碼，再輔助于言語表征，幫助學生理解知識，淺層心象碼與深層心象碼之間的轉換，最終提高學習效率。比如，在歸納概括復數乘法運算的三角表示時，分別是模長和輻角的變化，分別歸納模長和輻角的言語表征時，利用多媒體軟件分別強調模長、輻角的變化。發揮多媒體軟件的作用，能夠幫助學生集中注意力，幫助學生進行從符號表征向文字表征的過渡，提高學習效率。

5.2 設計有效的教學過程，降低學習負荷

多元表征理論指導下的教學要求多元地表征數學對象，但在實際的教學過程中，過多的表征形式下的數學對象不一定對學生的學習起到正向的作用，有時不會減少學生的認知負荷，反而會增加。這就要求教師在進行教學設計時，要充分考慮到知識的特征、以及學生的認知水平。比如，在復數乘法的三角表示教學中，學習重點在于三角形式，若此時在學習這個知識點后，緊接著呈現復數乘法運算的所有表征形式，第一，不會幫助學生更好地進行多元表征學習；第二，對學生探究幾何意義是沒有幫助的，反而會造成知識間的混亂，不能更好地進行知識間的銜接。

5.3 善于變式教學，促進知識整合和知識遷移。

變式教學的目的在于多方面地呈現知識，幫助學生實現多角度地理解知識的本質。變式，以本題為基點，延伸出不同水平階段的問題，引發學生的思考，幫助學生對知識進行整合，幫助學生學會知識遷移。不同的變式有不同的教學效果，比如，由特殊到一般的變式，能減輕知識難度，幫助學生理解知識本質；而從一般到特殊的變式，能幫助學生應用知識，知識整合。針對不同的教學目標，可以選擇不同的變式方式，這樣能夠有效的進行教學，實現學生的數學發展。